Свойства измеримых по Лебегу множеств.

Введенная мера Лебега ограниченного множества обладает рядом свойств. Сформулируем и докажем некоторые из них.

Теорема 1.3.1. (Регулярность меры) Пусть - ограниченное, измеримое множество. Для любого найдутся такие замкнутое множество и открытое множество , что справедливы включения и неравенства

.

Утверждение теоремы непосредственно следует из определения точных верхней и нижней граней числового множества.

Теорема 1.3.2. (Инвариантность меры) Если - измеримое множество и - произвольное число, то множество измеримо, причем .

Доказательство. Согласно теореме 1.3.1, для произвольного , найдутся такие открытое множество и замкнутое множество , что и

.

Множества и являются замкнутым и открытым соответственно. При этом справедливы включения .

Покажем, что мера открытого множества инвариантна относительно сдвига. Как открытое множество, множество представимо в виде . Тогда и .

Замкнутое множество имеет представление .

Отсюда и .

Как показано выше, мера открытого множества инвариантна относительно сдвига, поэтому

.

В конечном итоге получаем

.

Таким образом, для любого справедливо неравенство

.

Сопоставляя полученное неравенство с неравенством (1.3.1), и учитывая произвольность выбора , делаем вывод, что .

Теорема доказана.

Теорема 1.3.3. (монотонность меры) Если - ограниченные измеримые множества и , то

.

Теорема 1.3.4. (счетная аддитивность) Если ограниченное множество является объединением не более чем счетного числа ограниченных измеримых множеств , и эти множества попарно не пересекаются, то множество измеримо, причем

.

Доказательство. Согласно теореме 1.2.1 для произвольного ограниченного множества справедливо неравенство .

Покажем справедливость неравенства . С этой целью произвольно зафиксируем . В соответствии с утверждением теоремы 1.3.1 для каждого множества найдется такое открытое множество , что

и .

Можно показать, что если множества попарно не пересекаются, то , в случае непустого попарного пересечения множеств , справедливо неравенство .

Так как , то, по теореме 1.3.3, имеем

.

В силу произвольности выбора , можем заключить .

Аналогично можно показать, что .

В итоге имеем цепь неравенств

из которой следует, что . Иными словами, множество измеримо.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.5. (Полуаддитивность меры) Для произвольных измеримых множеств справедливо неравенство

.

Доказательство. Введем множества , , .

Множество представимо в виде . При этом множества попарно не пересекаются и измеримы как разность двух измеримых множеств (см. упражнение 10). Согласно теореме 1.3.4 множество измеримо.

Докажем справедливость неравенства . С этой целью произвольно зафиксируем . В соответствии с утверждением теоремы 1.3.1 для каждого множества найдется такое открытое множество , что и .

Так как , то в силу монотонности меры (Т. 1.3.3),

.

В силу произвольности выбора имеем .

Теорема доказана.

Теорема 1.3.6. Пусть множества измеримы и . Если множество ограничено, то оно измеримо, причем .

Доказательство. Множество представим в виде

.

Множества и при не пересекаются, поэтому, в силу теоремы 1.3.4, имеем

.

Можно показать, что если , то

.

С учетом последнего равенства .

В силу ограниченности множества ряд сходится и его частичная сумма равна .

Поэтому .

Теорема доказана.

Как следствие теоремы 1.3.6 получим следующее утверждение.

Теорема 1.3.7. Пусть - измеримые множества и . Если при этом , то .

Доказательство. Множество измеримо и потому ограничено, поэтому существует . Для дополнений множеств до отрезка выполнены все условия предыдущей теоремы. Действительно, измеримы, и .

В силу теоремы 1.3.6 .

С другой стороны .

Отсюда .

Теорема доказана.

Определение 1.3.1. Множество, представимое в виде пересечения или объединения не более чем счетного числа замкнутых множеств называется борелевским множеством типа , а множество представимое в виде пересечения или объединения не более чем счетного числа открытых множеств называется борелевским множеством типа .

Справедлива

Теорема 1.3.8. (структура измеримого множества) Для любого ограниченного и измеримого множества найдутся множества типа и типа такие, что

и , .

Теорема 1.3.8 утверждает, что всякое ограниченное измеримое множество является множеством типа или с точностью до множества нулевой меры.

Доказательство. Согласно свойству регулярности меры, для произвольного натурального числа найдется такое открытое множество , что . Отсюда .

Множество является борелевским множеством типа и для любого .

В силу монотонности меры, при .

Таким образом, .

Аналогично можно доказать второе утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-10-30