Измеримые функции.

Символом будем обозначать расширенное множество действительных чисел, т.е. множество с присоединенными несобственными числами и .

На множестве справедливы обычные правила арифметических действий, кроме следующих:

Сумма двух несобственных чисел и есть неопределенное число, также неопределенными являются результаты следующих операций , .

Пусть - некоторое подмножество. Будем рассматривать функции , определенные на множестве и принимающие значения в , т.е. функции могут принимать бесконечные значения.

Для произвольного введем множество

,

называемое Лебеговым множеством функции .

Определение 2.1.1. Функция называется измеримой по Лебегу, если

1) множество измеримо;

2) для любого множества измеримы.

Справедлива

Теорема 2.1.1. Следующие утверждения эквивалентны

1) функция измерима;

2) для любого множество измеримо;

3) для любого множество измеримо;

4) для любого множество измеримо.

Доказательство. Теорема будет полностью доказана, если будет показана последовательность импликаций

Покажем, что из первого утверждения следует второе. Для произвольного справедливо представление . В силу измеримости функции , каждое множество измеримо, а пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Импликация доказана.

Докажем . Для произвольного , справедливо представление . Отсюда следует вывод, что множество измеримо как разность двух измеримых множеств.

Импликация доказывается аналогично утверждению , используя представление . Каждый элемент пересечения является измеримым множеством, а так как элементов пересечения счетное число, то их пересечение есть измеримое множество.

Доказательство аналогично доказательству .

Теорема доказана.

Теорема 2.1.1 утверждает, что в определении измеримой функции можно взять любое из множеств , , , . Поэтому все перечисленные множества называются Лебеговыми множествами функции .

Можно показать, что для измеримой функции множества вида , , ,…измеримы для любых . При этом, из измеримости множеств при всех не следует измеримость функции .

Докажем справедливость некоторых свойств измеримых функций.

Теорема 2.1.2. Всякая функция, определенная на множестве нулевой меры, измерима.

Доказательство. Как известно, любое подмножество множества нулевой меры измеримо. Следовательно, Лебеговы множества функции имеют нулевую меру и потому измеримы.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.3. Пусть - измеримое подмножество и , , тогда функция измерима.

Теорема 2.1.4. Пусть измерима и - измеримое подмножество. Тогда сужение является измеримой функцией.

Доказательство. Справедливо равенство . Поэтому всякое Лебегово множество функции измеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом, измерима.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.5. Пусть функция задана на объединении не более чем счетного числа измеримых множеств и имеет измеримое сужение на каждое из этих множеств. Тогда является измеримой на объединении множеств.

Определение 2.1.2. Две функции и заданные на одном и том же множестве называются эквивалентными, если мера множества, на котором и не равны, равна нулю, т.е.

.

При этом говорят, что функции и равны почти всюду.

Теорема 2.1.6. Если измерима и функция эквивалентна , то функция измерима.

Доказательство. Множество представим в виде и обозначим . Сужение является измеримой функцией. Сужение функции совпадает с сужением , и потому измеримо. Так как , то измеримая функция. В итоге функция определена на объединении двух измеримых множеств и измерима на каждом из них. Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.7. Функция непрерывная на отрезке измерима.

Доказательство. Множество измеримо. Для непрерывной функции прообразом любого замкнутого множества является замкнутое множество. Поэтому Лебеговы множества измеримы для любого .

Теорема доказана.

Следствие 2.1.1. Всякая кусочно-непрерывная на отрезке функция измерима.

Следующая теорема утверждает, что множество всех измеримых функций, определенных на измеримом множестве , замкнуто относительно операций сложения и умножения на скалярный множитель.

Теорема 2.1.8. Пусть функции и измеримы и - произвольный скаляр, тогда и измеримы на множестве .

Доказательство. Если , то Иными словами, Лебеговы множества измеримы при любом .

Для ненулевого , имеем

В силу измеримости функции оба множества измеримы. Таким образом, любая функция вида измерима вместе с функцией .

Для доказательства второго утверждения покажем справедливость равенства

,

где - множество рациональных чисел.

Пусть , тогда . В силу всюду плотности множества рациональных чисел на прямой, найдется такое рациональное число , что . Тогда и . Иными словами, и . Тогда . Включение показано.

Пусть , тогда найдется такое рациональное число , что . Отсюда и . Следовательно и , тогда . Иными словами, . Обратное включение показано.

Применение теоремы 2.1.5 завершает доказательство.

Теорема доказана.

Теорема 2.1.9. Если функция измерима, то измеримы функции , и , если функция не обращается в нуль на множестве .

Дата добавления: 2015-10-30