Пространство функций суммируемых с квадратом.

Пусть - измеримое, ограниченное множество.

Определение 4.2.1. Измеримая функция называется суммируемой с квадратом, если интеграл Лебега от квадрата функции конечен, т.е.

.

Символом обозначим множество всех функций суммируемых с квадратом.

Справедлива

Теорема 3.2.1. Всякая суммируемая с квадратом функция суммируема, т.е. .

Доказательство. Из неравенств и следует, что

и .

Поэтому . Интегрируя полученное неравенство, получаем

.

Теорема доказана.

Справедлива

Теорема 4.2.2. Произведение двух суммируемых с квадратом функций есть суммируемая функция, т.е. если , то .

Доказательство. Для произвольных неравенство справедливо почти всюду. Интегрируя левую и правую часть неравенства, получаем

.

Теорема доказана.

Используя утверждение теоремы 4.2.2, покажем, что любая линейная комбинация функций суммируемых с квадратом является функцией принадлежащей тому же множеству .

Теорема 4.2.3. Если , то функции и , где - произвольный скалярный множитель.

Доказательство. В силу свойства однородности операции интегрирования по Лебегу, вместе с любой функцией в это множество попадают все функции вида .

Покажем, что сумма функций суммируема с квадратом.

Теорема доказана.

Сформулируем и докажем интегральное неравенство Коши-Буняковского (Шварца).

Теорема 3.2.4. Если , то

.

Доказательство. Для произвольного и произвольно фиксированных рассмотрим интеграл

.

Так как квадратный трехчлен относительно в правой части неравенства является знакопостоянным, то можно сделать вывод, что дискриминант квадратного трехчлена не превосходит нуля, т.е.

.

Иными словами, .

Извлекая корень из обеих частей неравенства, и учитывая, что модуль любого действительного числа не превосходит самого числа, получаем требуемое неравенство.

Теорема доказана.

Аналогично множеству вместо множества будем рассматривать пространство классов эквивалентных функций , которое становится нормированным пространством, при определении нормы равенством

. (.2.2)

Справедливость аксиом положительной определенности и однородности очевидна. Для доказательства неравенства треугольника используем неравенство Коши-Буняковского.

Справедлива

Теорема 4.2.5. Пространство является банаховым.

Кроме того, на пространстве можно определить скалярное произведение функций

(4.2.3)

При этом скалярное произведение (3.2.3) согласовано с нормой (4.2.2) пространства . Иными словами, пространство является гильбертовым.

Дата добавления: 2015-10-30