Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Читайте также:
  1. A9. Укажите верную характеристику второго (2) предложения текста.
  2. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля.
  3. II. Учет накладных расходов на примере ТОО «Тепломонолит».
  4. III. Схематическое изображение накопления - второй пример
  5. IP адресация. Правила использования адресов. Маски переменной длины. Пример разбиения на подсети с маской переменной длины.
  6. SWOT- анализ на примере ветеринарной аптечной сети.
  7. А) за курс начального общего образования

(*)

В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т. е. буквы обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.

Можно записать уравнение (*) следующим образом:

Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):

1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;

2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;

3) избавиться от свободного члена.

Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.

Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координаты в «старой системе координат» и – в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.

Параллельный перенос координатных осей

 

 

(1)

 

Поворот координатных осей

Пусть ,

.

 

 

,

.

(2)

Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.

Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.

Пусть дано общее уравнение второго порядка:

. (3)

Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1): .

(3’)

Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:

Решив систему, найдем координаты точки S , нового начала координат: S . Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:

(4)

Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.

Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).

(5)

Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведении стал равен нулю, т. е. решаем уравнение

.

,

.

Определяем и подставляем в (5):

.

Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:

. (6)

Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О ) и 1(по оси О ).

ЭЛЛИПС

Определение. Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости и есть постоянная величина. Точки и называются фокусами.

и - фокальные радиусы точки .


0

 

 

, ,

следовательно ,

.

 


Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 177 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. | ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. | Определители и их вычисление. | СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУ). | РАНГ МАТРИЦЫ. | ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ НА СОВМЕСТНОСТЬ. | БАЗИС ВЕКТОРОВ. | ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. | ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. | ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.| Вывод уравнения эллипса

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)