Основные правила дифференцирования.

Функция называется дифференцируемой на отрезке, если она дифференцируема в каждой точке этого отрезка, т.е. в каждой точке отрезка есть производная.

Пусть u(x), v(x) – дифференцируемы на [ a, b ].

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) Производная сложной функции:

8) Производная обратной функции:

y = y(x) – дифференцируема и строго монотонна.

x = x(y) – обратная функция, тогда .

9) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО.

F(x, y) = 0.

Пример: Найти y ¢, если .

При дифференцировании учитываем, что .

II способ:

10) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.

Из первого уравнения получаем: t = j(x) – это обратная функции x.

Тогда – сложная функция.

Пример:

Доказательства:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) доказывается так же, как (2)

(6) выводится из (5)

(7)

по условию y(u) и u(x) – дифференцируемы;

Подставим (**) в (*), получим:

(8)

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.

1)	10)
2)	11)
3)	12)
3.1)	13)
3.2)	14)
4)	15)
5)	16)
6)	17)
7)	18)
8)	19)
9)

Доказательства:

(1) смотри пример выше.

(2) самостоятельно (это частный случай (3))

(3)

– доказательство для натуральных n, для рациональных докажем позже.

(3.1) и (3.2) самостоятельно.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11) – аналогично (10).

(12)

(13), (14) и (15) – аналогично.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

1)
2)
3)
4)

(16) – (19) – по определению.

Например,

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ.

1) ,	10)
2)	11)
3)	12)
3.1)	13)
3.2)	14)
4)	15)
5)	16)
6)	17)
7)	18)
8)	19)
9)

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

Сначала функцию логарифмируют, потом дифференцируют. Этот прием удобно применять, когда функция является произведением или частным степенных функций, или является показательно-степенной функцией.

Пример:

Пример:

Пример:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Умножим это выражение на D x:

Определение: Главная часть приращения функции, равная называется дифференциалом .

Замечание: 1)

2)

Доказательство:

Пример: Найти d y, если , x изменяется от x = 1 до x = 0,9.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ d y.

Дифференциал в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной в этой точке.

Пример: вычислить приближенно .

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Начиная с четвертой производной пишут: или .

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ.

Пример:

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.

Пример:

Дата добавления: 2015-10-24