Определители и их вычисление.

Пусть даны две плоскости P и Q и с.к. x₁Ox₂ и y₁Oy_2, в которой соответственно.

P и Q, и их с.к. могут совмещаться. Рассмотрим систему: (1)

Из (1) каждой точке М(x₁;x₂) плоск. x₁Ox₂ соответствует точка (y₁;y₂) плоск. y₁Oy₂. Уравнение (1)-линейное преобразование координат, отображающая плоскость x₁Ox₂ на плоскость y₁Oy₂.

Уравнение (1)-линейное значит и отображение линейное.

Если рассмотреть некоторую область F в плоскости x₁Ox₂, то с помощью уравнений (1) ей будет соответствовать некоторая совокупность точек плоскости y₁Oy₂.

В общем случае можно записать (не линейное отображение):

Отображение (1) полностью определяется совокупностью коэффициентов a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂.

Прямоугольная таблица из mn элементов, содержащая m строк и n столбцов,А= или А= или А= наз. матрицей, где a₁₁, a₁₂, a₁₃ …, a_mn -элементы матрицы, короткая запись А=(a_ij) или А= или А=[a_ij], где i-номер строки, j-номер столбца, i=1, 2…, m= ; j=1,2,…, n= . a_ij – элементы (члены) матрицы.

Прямоугольная таблица составленная из коэффициентов системы (1) наз.матрицей отображения (1).

Виды матриц: квадратная, ступенчатая (треугольная), транспонированная, столбцевая, строчечная. Квадратные матрицы бывают: симметричными, диагональными, единичными.

Итак,матрицей порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

аij – элемент матрицы а11, а22, … – эти элементы образуют главную диагональ матрицы

1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МАТРИЦ:

1. Квадратная – это матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n).	–2-го порядка	–3-го порядка
2. Диагональная – это квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.	;
3. Е3´3= Единичная – это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице (всегда обозначается буквой Е).	Е2´2=
4. – нижний треугольник – верхний треугольник Треугольная (ступенчатая) – это матрица, все элементы которой, выше или ниже главной диаго­нали, равны нулю.
5. Симметрическая – это квадратная матрица, элементы которой симметричны относи­тельно главной диагонали
6. О2´3= Нулевая – это матрица, все элементы кото­рой равны нуль (всегда обозначается – О).

Рассмотрим матрицу состоящую из одного столбца или одной строки:

Х= , У= . Первая матрица называется столбцевой, вторая строчечной.

Иногда столбцевую (строчечную) матрицу отождествляют с вектором в пространстве соответственного числа измерений, где элементы матрицы являются проекциями вектора на соответствующие оси координат.

Пример. =x₁ +x₂ +x₃ .

– вектор-столбец 7. Вектор – это матрица содержащая одну строку (вектор-строка) или один столбец (вектор-столбец).

–вектор-строка

1. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ:

Две матрицы А и В равны, если они имеют одинаковое количество строк и солбцов и соответствующие их элементы равны, т.е А=В или (а_ij)=(b_ij), если a_ij=b_ij, i= , j= .

Суммой двух матриц (a_ij) и (b_ij) с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов наз. матрицей (с_ij), у которой элементом с_ij является сумма а_ij и b_ij соответствующих элементов матриц (a_ij) и (b_ij) т.е. (a_ij)+(b_ij)=(c_ij)=> a_ij+b_ij=c_ij (i= ; j= ).

Пр. + = . Аналогично разность двух матриц.

Чтобы умножить матрицу на число λ нужно умножить на это число каждый элемент матрицы: λ(a_ij)=(λa_ij).

Пример: λ = .

Произведением строки из n элементов (a₁,a₂,…,a_n) на столбец из n элементов называется число (элемент) равное сумме произведений соответствующих элементов.

= .

Пример. = =(32).

=?–неопределенно!

Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой c_ij равен произведению i -й строки матрицы А и j -го столбца матрицы В, т.е. (i,A и j,B).

Пример. = = .   A*B= = = =Д1   B*A= * = = =Д2 Д1 Д2 => умножение матрицы не коммутативно: АВ ВА.
Итак, А = (аij); B = (bij); C = (cij). 1. СЛОЖЕНИЕ (складывать можно только матрицы одинаковой размерности): Am´n + Bm´n = Cm´n, если cij = aij + bij.	Вычитание аналогично!
2. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО (k): k×Am´n = Bm´n, если bij = k×aij
Матрица (–А) называется противоположной матрице А.
Свойства линейных операций: 1. А+В=В+А 2. А+(В+С)=(А+В)+С 3. А–А=О (О – нулевая матрица)	4. А+О=А 5. a(А+В)=aА+aВ 6.(a+b)А=aА+bА 7. 1×А=А
3. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ (строка на столбец):
Am´n×Bn´p=Cm´p, если cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+ain×bnj. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки первой матрицы на элементы j-того столбца второй матрицы.
Произведения не существует
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.
Свойства произведения матриц: 1. (А×В)×С=А×(В×С) 2. (А+В)×С=АС+ВС	3. С×(А+В)=СА+СВ 4. А×Е=Е×А=А 5. (aА)В=А(aВ)
4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ (А^Т): Чтобы получить транспонированную матрицу, нужно в исходной матрице заменить строки на соответствующие столбцы.
А3´2=
Свойства транспонирования:	1. (А+В)^Т=А^Т+В^Т	2. (АВ)^Т=В^ТА^Т (!)
5. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (только для квадратной матрицы):
А^2=А×А;	А^3=А^2×А;	А^n=А^n^-1×А;

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: потом вычтем из первого второе, вынося х получим: ; Аналогично, . Разности, стоящие в числителе и знаменателе a11·a22-a21·a12= , b1a22-b2a12= и т.д. называются определителями 2-го порядка. Вообще, определителем 2-го порядка называется число (элемент) соответствующий квадратной таблице из 4-х чисел (элементов). Определителем 3-го порядка называется число (элемент) соответствующий квадратной таблице из 9-ти чисел (элементов).
Каждой квадратной матрице соответствует число, называемое определителем матрицы. (ïАï, DА, detA, D) Определитель составленный из элементов квадратной матрицы (без перестановок), называется определителем матрицы. Обозначение: . Замечание: неквадратная матрица определителя не имеет.
· det 2-го порядка называется число а11а22 – главная диагональ а12а21 – побочная диагональ
= а11а22 а33+а12а23а31+а21а32а13–а13а22а31–а11а32а23–а12а21а33. · det 3-го порядка называется число:
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА:
1. Правило треугольников:	2. Правило Саррюса: =
СВОЙСТВА: 1. Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы (detA^T=detA). 2. При перестановке двух параллельных строк или столбцов определитель меняет знак. 3. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки или столбца, равен нулю. СЛЕДСТВИЕ: Определитель, имеющий две пропорциональные строки или столбца, равен нулю. 5. Определитель, строка или столбец которого является суммой двух чисел, можно разложить на сумму двух определителей.
6. Элементарные преобразования Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, помноженные на некоторое число, не равное 0. СЛЕДСТВИЕ: Определитель, имеющий нулевую строчку или столбец, равен нулю. Чтобы сформулировать следующее свойство, введем определения: 1. Мij (минором) элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца. 2. Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется Aij=(–1)^i^+^jMij.
7. Разложение определителя по строке или столбцу: Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраические дополнения. D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin. 8. Сумма произведений элементов некоторой строки или столбца на алгебраическое дополнение параллельной строки или столбца равна нулю. , то a11A31+a12A32+a13A33=0.

При помощи свойств определителя вычисление определителя любого порядка можно свести к вычислению определителя второго или третьего порядка.

Дата добавления: 2015-10-24