Теорема доказана. Третья теорема звучит: Теорема Стокса (классическая) (28.2): Пусть – компактная

Третья теорема звучит: Теорема Стокса (классическая) (28.2): Пусть – компактная двумерная ориентируемая поверхность с краем , на котором определена индуцируемая ориентация. И пусть – орт внешней нормали к поверхности , а –единичное векторное поле на , обладающее тем свойством, что . Если теперь – непрерывно дифференцируемое векторное поле в некоторой открытой области, содержащей в себе , то: .

Док-во: Рассмотрим на М дифференциальную форму, равную W=Pdx+Qdy+Rdz; dW=(D₁ Pdx+D₂Pdy+D₃Pdz)^dx+(D₁Qdx+D₂Qdy+D₃Qdz)^dy++(D₁Qdx+D₂Qdy+D₃Qdz)+dz=(D₂R-D₃Q)dy^dz+(D₃P-D₁R)dz^dx+(D₁Q-D₂P)dx^dy; Докажем, что последнее выражение равно ; =()= (D₂R-D₃Q) +(D₃P-D₁R) + (D₁Q-D₂P) = W; Заметим, что выполняется следующее равенство: ; ; ;

Что бы доказать эти равенства достаточно применить к каждому равенству , x M и воспользоваться равенством dl()=l, и мы получим, что каждое из этих равенств выражается для . Рассмотрим выражение dl= + + = W; Теперь применяем общую теорему Стокса: = =

Дата добавления: 2015-07-07