Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Кориолиса об ускорении точки в сложном движении

Читайте также:
  1. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  2. II. СПОСОБЫ РАСЧЕТА ТОЧКИ ОТДЕЛЕНИЯ ПАРАШЮТИСТОВ ОТ ВОЗДУШНОГО СУДНА.
  3. IV. ЗНАЧЕНИЕ ОБЕИХ СИСТЕМ. ЙОГИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПСИХОЛОГИИ И ФИЗИОЛОГИИ
  4. Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей
  5. Абсолютного ускорения точки
  6. Агрегатные состояния вещества и их характеристика с точки зрения МКТ. Плазма. Вакуум.
  7. Анализ с точки зрения дизайна

 

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова:

 

aa = ae + ar + ak,(6.5)

 

где последнее равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении:

 

ak = 2(ω е ´ vr). (6.6)

 

Доказательство. Приведем доказательство для случая плоского переносного движения.

Пусть тело, с которым жестко связана локальная система координат Oxyz, движется относительно неподвижной системы отсчета О 1ξηζ, скользя нижним основанием по неподвижной плоскости π0, совпадающей с плоскостью О 1ξη (рис. 6.2). Пусть точка М перемещается по телу, и в данный момент времени попадает в плоскость π1, параллельную плоскости π0.

Проведем через центр O ось О ξ, параллельную неподвижной оси О 1ξ и обозначим через точку пересечения плоскости π1 с осью О ξ.

Движение тела описывается движением плоского сечения π1, которое представим суммой его поступательного движения вместе с полюсом и вращения вокруг оси О ξ с угловой скоростью ω е и угловым ускорением ε е.

Абсолютное ускорение точки aa найдем как производную от ее абсолютной скорости va:

 

aa = (d va / dt) (d 2 ρ O / dt 2) + ( i + j + k) + [ x (d 2 i / dt 2) + y (d 2 j / dt 2) + z (d 2 k / dt 2)] +

 

+ 2[(d i / dt) + (d j / dt) + (d k / dt) ] = A + B + C + 2 D, (6.7)

 

где d i / dt – скорость конца вектора i, вращающегося вокруг оси О ξ с угловой скоростью ω е. По аналогии с (4.9) она равна выражению:

 

d i / dt = ω е ´ i, (6.8)

дифференцируя которое, получим:

 

d 2 i / dt 2 = (ε е ´ i) + ω е ´(d i / dt) = (ε е ´ i) + ω е ´ (ω е ´ i). (6.9)

 

С учетом (6.8), (6.9) и таких же формул для других ортов выражения C и D, входящие в (6.7), можно записать в следующем виде:

 

C = [(d 2 i / dt 2) x + (d 2 j / dt 2) y + (d 2 k / dt 2) z ] = [(ε е ´ i) + ω е ´ (ω е ´ i)] x +

 

+ [(ε е ´ j) + ω е ´ (ω е ´ j)] y + [(ε е ´ k) + ω е ´ (ω е ´ k)] z = [ ε е ´ (x i + y j + z k)] +

 

+ ω е ´ [ ω е ´ (x i + y j + z k)] = (ε е ´ r) + ω е ´ (ω е ´ r); (6.10)

 

D = [(d i / dt) + (d j / dt) + (d k / dt) ] = [(ω е ´ i) + (ω е ´ j) + (ω е ´ k) ] =

 

= ω е ´ ( i + j + k) ω е ´ vr. (6.11)

 

Выясним смысл слагаемых, входящих в (6.7). Пусть тело неподвижно, а точка М движется по нему. Тогда абсолютное движение совпадает с относительным, векторы ρ O, i, j и k остаются постоянными по величине и по направлению, и из формулы (6.7) мы получим:

 

ar = B = ( i + j + k). (6.12)

 

Пусть наоборот – точка не перемещается по телу, но движется вместе с ним. Тогда абсолютное движение совпадает с переносным, x, y, z = const и из (6.7) следует, что

 

ae = A + C d 2 ρ O / dt 2 + (ε е ´ r) + ω е ´ (ω е ´ r) = a + a ε O´M + a ω O´M, (6.13)

 

поскольку aO´ = aO, а выражения (4.10) и (4.11) для вращательного и центростремительного ускорений, входящие в (5.3), не зависят от выбора центра О на оси вращения.

Подставляя (6.11)–(6.13) в (6.7), мы и получим формулу (6.5). Теорема доказана.

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 372 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Определение радиуса кривизны траектории | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении | Скорости и ускорения точек тела в виде векторных произведений | Разложении плоского движения на поступательное и вращательное | Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры | Частные случаи определения положения МЦС | Примечания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примечания| Кинематика и динамика жидкостей

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)