Теорема Кориолиса об ускорении точки в сложном движении

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова:

a_a = a_e + a_r + a_k,(6.5)

где последнее равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении:

a_k = 2(ω _е ´ v_r). (6.6)

Доказательство. Приведем доказательство для случая плоского переносного движения.

Пусть тело, с которым жестко связана локальная система координат Oxyz, движется относительно неподвижной системы отсчета О ₁ξηζ, скользя нижним основанием по неподвижной плоскости π₀, совпадающей с плоскостью О ₁ξη (рис. 6.2). Пусть точка М перемещается по телу, и в данный момент времени попадает в плоскость π₁, параллельную плоскости π₀.

Проведем через центр O ось О ξ, параллельную неподвижной оси О ₁ξ и обозначим через O´ точку пересечения плоскости π₁ с осью О ξ.

Движение тела описывается движением плоского сечения π₁, которое представим суммой его поступательного движения вместе с полюсом O´ и вращения вокруг оси О ξ с угловой скоростью ω _е и угловым ускорением ε _е.

Абсолютное ускорение точки a_a найдем как производную от ее абсолютной скорости v_a:

a_a = (d v_a / dt) (d ² ρ _O / dt ²) + ( i + j + k) + [ x (d ² i / dt ²) + y (d ² j / dt ²) + z (d ² k / dt ²)] +

+ 2[(d i / dt) + (d j / dt) + (d k / dt) ] = A + B + C + 2 D, (6.7)

где d i / dt – скорость конца вектора i, вращающегося вокруг оси О ξ с угловой скоростью ω _е. По аналогии с (4.9) она равна выражению:

d i / dt = ω _е ´ i, (6.8)

дифференцируя которое, получим:

d ² i / dt ² = (ε _е ´ i) + ω _е ´(d i / dt) = (ε _е ´ i) + ω _е ´ (ω _е ´ i). (6.9)

С учетом (6.8), (6.9) и таких же формул для других ортов выражения C и D, входящие в (6.7), можно записать в следующем виде:

C = [(d ² i / dt ²) x + (d ² j / dt ²) y + (d ² k / dt ²) z ] = [(ε _е ´ i) + ω _е ´ (ω _е ´ i)] x +

+ [(ε _е ´ j) + ω _е ´ (ω _е ´ j)] y + [(ε _е ´ k) + ω _е ´ (ω _е ´ k)] z = [ ε _е ´ (x i + y j + z k)] +

+ ω _е ´ [ ω _е ´ (x i + y j + z k)] = (ε _е ´ r) + ω _е ´ (ω _е ´ r); (6.10)

D = [(d i / dt) + (d j / dt) + (d k / dt) ] = [(ω _е ´ i) + (ω _е ´ j) + (ω _е ´ k) ] =

= ω _е ´ ( i + j + k) ω _е ´ v_r. (6.11)

Выясним смысл слагаемых, входящих в (6.7). Пусть тело неподвижно, а точка М движется по нему. Тогда абсолютное движение совпадает с относительным, векторы ρ _O, i, j и k остаются постоянными по величине и по направлению, и из формулы (6.7) мы получим:

a_r = B = ( i + j + k). (6.12)

Пусть наоборот – точка не перемещается по телу, но движется вместе с ним. Тогда абсолютное движение совпадает с переносным, x, y, z = const и из (6.7) следует, что

a_e = A + C d ² ρ _O / dt ² + (ε _е ´ r) + ω _е ´ (ω _е ´ r) = a_O´ + a ^ε _O´M + a ^ω _O´M, (6.13)

поскольку a_O´ = a_O, а выражения (4.10) и (4.11) для вращательного и центростремительного ускорений, входящие в (5.3), не зависят от выбора центра О на оси вращения.

Подставляя (6.11)–(6.13) в (6.7), мы и получим формулу (6.5). Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-07