Скорости и ускорения точек тела в виде векторных произведений

1. Векторы ω и ε. Подобно тому, как в статике наряду с моментом силы мы рассматривали ее вектор-момент, введем понятие векторов угловой скорости и углового ускорения.

Определение. Вектором угловой скорости ω называетсявектор, который:

– действует по прямой, совпадающей с осью вращения;

– направлен по правилу правого винта;

– равен по модулю угловой скорости тела ω.

Определение. Вектором углового ускорения ε называется вектор, который:

– действует по прямой, совпадающей с осью вращения;

– направлен по правилу правого винта;

– равен по модулю угловому ускорению тела ε.

В соответствии с этими определениями

ε = d ω/ dt. (4.8)

При ускоренном вращении тела ε↑↑ω, при замедленном – ε↑ ↓ ω.

2. Скорость точки вращающегося тела. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω вокруг оси Oz, где центр O выбран произвольно.

Построим вектор ω и проведем радиус-вектор r точки M, находящейся на расстоянии R от оси вращения (рис.4.3).

Теорема. Скорость точки M твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz равна векторному произведению вектора угловой скорости и радиус-вектора этой точки, проведенного из произвольного центра O этой оси:

v = ω ´ r. (4.9)

Доказательство. Отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов ω и r будетколлинеарным вектору v. Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки. Как видим, векторы ω, r и v образуют правую тройку векторов, и (ω ´ r) ↑↑ v.

Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:

| ω r |= | ω |×| r |× sin (ω, r) = ω× R v = | v |.

Теорема доказана.

3. Ускорение точки вращающегося тела. Пусть тело ускоренно вращается в положительном направлении вокруг оси Oz, то есть ε↑↑ω (рис.4.)

Докажем, что вращательное ускорение точки этого тела a ^ε равно векторному произведению векторов ε и r, а центростремительное a ^ω – векторному произведению ω и v:

a ^ε = ε ´ r; (4.10)

a ^ω = ω ´ v. (4.11)

Действительно, с учетом формул (2.4), (4.9) и (2.3) получим:

a = d v / dt = d / dt (ω ´ r) = (d ω/ dt)´ r + ω ´(d r / dt) = (ε ´ r)+ (ω ´ v). (4.12)

При этом первое слагаемое в (4.12) по направлению совпадает с вектором a ^ε и равно ему по модулю:

| ε ´ r | = | ε| · | r |·sin(ε, r) = a ^ε,

откуда следует (4.10).

Второе слагаемое (ω ´ v) ↑↑ a ^ω, а | ω ´ v | = | ω| · | v |·sin(ω, v) = ω· v ω² R = a ^ω,

откуда следует (4.11).

Дата добавления: 2015-07-07