Примечания. 1. Отметим сходство в подходе к решению задач по кинематике на тему плоское движение и

1. Отметим сходство в подходе к решению задач по кинематике на тему плоское движение и задач по статике на тему плоская система сходящихся сил.

В статике мы исходили из условия равновесия:

Σ F_i = 0, (а)

которое интерпретировали графически – как замкнутость силового многоугольника, или аналитически – как уравнения равновесия:

Σ X_i = 0, Σ Y_i = 0. (б)

При графическом решении в качестве неизвестных выступали модуль и направление неизвестной реакции или модули двух известных по направлению реакций. При аналитическом решении – это были проекции двух неизвестных реакций на оси координат.

В кинематике вместо (а) выступают другие векторные равенства – (5.1) или (5.3):

v_B = v_A + v_AB (5.1´)

и

a_B = a_A + a ^ε _AВ + a ^ω _AВ (5.3´)

соответственно. Эти векторные уравнения, как и (а) содержат не более двух неизвестных, в качестве которых выступают модули и направления неизвестных скоростей и ускорений точек тела или его угловые скорости и ускорения.

Решение, как и в статике можно найти графически или аналитически из уравнений, аналогичных (б), которые получаются проектированием (5.1´) и (5.3´) на оси координат.

2. При графическом решении мы сразу определяем истинное направление реакции связи – в (а), или скорости и ускорения – в (5.1´) и (5.3´).

При этом векторные многоугольники для (5.1´) и (5.3´) в отличие от силовых многоугольников в статике являются незамкнутыми, поскольку соответствуют рассмотрению не уравновешенной системы сил, а нахождению равнодействующей системы сходящихся сил, равной сумме векторов.

3. При аналитическом решении результат может получиться отрицательным – это означает, что мы не угадали истинное направление реакции связи или кинематического параметра движения.

Если найденное неизвестное будет использоваться в дальнейшем решении, рекомендуется изменить его направление на противоположное и решить задачу заново, чтобы результат получился положительным.

4. Правильность аналитического решения можно проверить с помощью графического решения задачи.

Пример 5.3. В задаче из примера 5.1 определить ускорение ползуна В в указанном положении кривошипно-шатунного механизма, если кривошип ОА длиной 1 м равномерно вращается со скоростью 1 с^–1.

Решение.

1). Введем систему координат с началом в точке В, направив ось Вх по ВА (рис. 5.14) и определим угловую скорость шатуна АВ, используя найденные ранее скорости точек А и В: v_A = 1 м/с, v_В = м/с.

Для этого спроектируем (5.1):

v_B = v_A + v_AB (5.1´)

на оси х, y, считая все входящие в (5.1) векторы направленными в положительные стороны этих осей:

v_B cos 30˚ = v_A; (а)

v_B sin 30˚ = v_AB. (б)

Уравнение (а) повторяет содержание теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры (5.2), а из (б) с учетом того, что v_AB = ω _AB · AB, мы найдем угловую скорость звена AB:

ω _AB = (1/ AB) v_B sin 30˚ = с^–1.

Проверим правильность найденного аналитического решения графически. Для этого от произвольно выбранного центра О ₁ откладываем вектор v_A и проводим через начало и конец этого вектора прямые, параллельные v_B и v_AB, до их пересечения. Найденные гипотенуза и катет векторного треугольника и будут равны v_B и v_AB соответственно. Графическое решение, как видим, свелось к построению треугольника по известной стороне и направлению двух других сторон. Величины v_B и v_AB будут положительными, поскольку векторы в многоугольнике и на чертеже совпадают по направлению. При этом

v_AB = v_A tg30˚= , ω _AB = v_AB / AB = 1/3 с^–1.

2). Для определения ускорения точки В нужно предварительно определить ускорение точки А, принадлежащей одновременно кривошипу ОА.

Поскольку ω _ОА = соnst, то полное ускорение точки А совпадает с центростремительным:

a_А = a_А ^ω ω² _ОАОА = 1²·1 = 1м/с².

3). Для аналитического определения ускорения точки В спроектируем векторное уравнение (5.3)

a_B = a_A + a ^ε _AВ + a ^ω _AВ (5.3´)

на ось Bх. Учитывая, что a_A и a ^ε _AВ перпендикулярны этой оси, получим:

a_B cos30 = a ^ω _AВ ω² · AB = (1/3)² · = /9,

откуда

a_B = a ^ω _AВ /cos30 = ( /9)/( /2) = 2/9 м/с².

Чтобы графически найти ускорения точки В построим соответствующий (5.3) векторный многоугольник. Для этого от произвольно выбранного центра О ₂ последовательно откладываем векторы a_A и a ^ω _AВ, а затем через начало первого и конец последнего вектора проводим прямые, параллельные a_B и a ^ε _AВ до их пересечения.

Разбивая многоугольник на прямоугольник и треугольник, нетрудно определить модули векторов a_B и a ^ε _AВ:

| a_В | = 2/9 м/с²; | a ^ε _AВ | = | a_А | – (1/2)| a_В | = 1 – 1/9 = 8/9 м/с².

При этом проекция вектора a ^ε _AВ на ось Ву: a ^ε _AВ будет отрицательной, поскольку направления этих векторов на векторном многоугольнике и на чертеже противоположны.

И действительно, проектируя (5.3´) на ось Ву получим:

a_B cos60˚ = a_A + a ^ε _AВ,

откуда

a ^ε _AВ = a_B cos60˚ – a_A = (1/2)(2/9) – 1 = – 8/9 м/с².

Это означает, что в данный момент времени a ^ε _AВ ↑ ↓ v_AB и ε _AВ ↑ ↓ ω _AВ, то есть шатун АВ вращается замедленно.

Ответ: | a_В | = 2/9 м/с², a_В ↑↑ v_В.

Дата добавления: 2015-07-07