Читайте также:
|
|
Из линейного свойства определителя следует, что определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A=(aij) и B=(bij) равен сумме всех различных определителей порядка n, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а остальную часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) В.
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , А и В – матрицы n–го порядка.
Из этого свойства следует, что даже если , то .
Пример. Формулу для разложения определителя наиболее удобно использовать по тем строкам (столбцам), в которых большинство элементов равны 0.. Так, если в данной строке только один элемент отличен от нуля, то разложение по этой строке содержит только одно слагаемое и вопрос о вычислении определителя порядка n сводится к вычислению определителя порядка (n-1).
Вычислим следующий определитель, применяя свойства к столбцам.
Обратная матрица.
Пусть А – квадратная матрица порядка n, а Е – единичная матрица того же порядка.
Матрица В называется правой обратной по отношению к матрице А, если АВ=Е.
Матрица С называется левой обратной по отношению к матрице А, если СА=Е.
Т.к. обе матрицы А и Е являются квадратными порядка n, то матрицы В и С (если они существуют) также являются квадратными матрицами порядка n.
Убедимся, что если обе матрицы В и С существуют, то они совпадают между собой на основании равенств АЕ=А, АВ=Е, СА=Е и сочетательного свойства произведения матриц: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В.
Т.о., правая и левая обратные матрицы совпадают В=С=А-1
Определение. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: АА-1=А-1А=Е.
Если , то матрица называется невырожденной, или неособенной. Если - матрица вырожденная, или особенная.
Но не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если для существования числа а-1, обратного для числа а, необходимым и достаточным условием является , то для существования А-1 таким условием является .
Теорема 1 (критерий существования обратной матрицы). Квадратная матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда (), когда А невырожденная. Если обратная матрица существует, то она единственная.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А-1. Покажем, что в этом случае А невырожденная.
АА-1=А-1А=Е. Тогда по свойству определителей имеем: . Т.е. и .
Достаточность. Пусть . Покажем, что она имеет обратную матрицу.
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , которая называется присоединенной (взаимной, союзной), элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы АТ: (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). Достаточно показать, что оба произведения С=А× и В= ·А являются единичной матрицей.
У обеих матриц С и В любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, т.к., например,
(по свойствам определителя ,а если i=j, то представляет собой разложение определителя по строке).
Следовательно В (ровно как и С) – диагональная матрица, элементы главной диагонали равны определителю матрицы А: . Аналогично для С=А· , т.е. ·А=А· =В.
Значит, если в качестве обратной матрицы взять матрицу
, (2.2) то А·А-1=А-1·А= =Еn. ч.т.д.
Докажем единственност ь А-1. Допустим, существуют еще матрицы С и D, такие, что и АС=Е, DA=E. Тогда, умножая на А-1 первое из равенств, получаем А-1АС=А-1Е. Отсюда ЕС=А-1Е, т.е. С=А-1. Аналогично, умножая второе равенство (DА=Е) на А-1 справа получаем D=А-1. ч.т.д.
Т.о. , где - присоединенная матрица, Элементы которой равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы АТ.
Терема 2. Если квадратные матрицы А и В порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (АВ)-1=В-1А-1.
Доказательство. Достаточно доказать, что (АВ)(В-1А-1)=Е и (В-1А-1)(АВ)=Е.
По свойству ассоциативности умножения матриц имеем:
(АВ)(В-1А-1)=А(ВВ-1)А-1=АЕА-1=АА-1=Е,
(В-1А-1)(АВ)=В-1(А-1А)В=В-1ЕВ=Е. ч.т.д.
Теорема 3. Если матрица А порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица АТ имеет обратную, причем (АТ)-1=(А-1)Т.
Доказательство. Достаточно доказать, что АТ(АТ)-1=Е и (АТ)-1АТ=Е.
Используя свойства произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем:
АТ(АТ)-1=(А-1А)Т=ЕТ=Е,
(АТ)-1АТ=(АА-1)Т=ЕТ=Е ч.т.д.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0. | | | Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы). |