Читайте также:
|
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (линейная система) имеет следующий вид:
(1)
Где х1,х2,…,хn-неизвестные, а11,а12,…,аmn – коэффициенты системы, b1,b2,…,bm – свободные члены.
У коэффициентов aij i-номер уравнения, j-номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Если все свободные члены b1,b2,…,bm равны 0, то система (1) называется однородной. Если хотя бы один из b1,b2,…,bm отличен от 0, система (1) - неоднородная.
Система (1) называется квадратной, если m=n.
Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел с1,с2,…,сn, которая при подстановке в систему вместо неизвестных х1,х2,…,хn обращает все уравнения системы в тождество.
СЛАУ можно записать в виде 
(i=1,2,…,m) (2)
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
СЛАУ
 |
Пример. 
несовместная система.
-неопределенная (х1=с, х2=5-3с)
Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если имеют одно и то же множество решений.
Запишем систему уравнений в матричной форме.
А= 
(3), Х= 
(4), В= 
(5)
Где А- матрица системы, Х- матрица-столбец переменных, В- матрица-столбец свободных членов.
- матрица-столбец.
Элементы этой матрицы-левые части системы (1). Т.о. систему можно записать в матричном виде: АХ=В (6)
-А* = (А|В) расширенная матрица системы (1)
Решение матричного уравнения (6) заключается в отыскании такого столбца (4), который при заданной матрице (3) и заданном столбце (5) обращает уравнение (6) в тождество.
Систему (1) можно записать и в векторной форме:
х1+ 
х2+…+ 
хn=
Или, обозначая столбцы соответственно a1,…, a n,В
a1x1+…+anxn=В (7)
Т.о., решение СЛАУ можно трактовать как представление столбца В в виде линейной комбинации столбцов a1,…, a n.
Т.о., в отношении системы (1) мы должны научиться устанавливать следующие факты:
1) является ли система (1) совместной;
2) является ли система (1) (в случае ее совместности) определенной или нет;
3) способ отыскания единственного решения совместной системы (1) (в случае ее определенности) и отыскания всех ее решений (в случае ее неопределенности).
Теорема Крόнекера-Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, Альфред Капелли (1855-1910) – итальянский математик). Для того, чтобы система линейных уравнений (1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Доказательство. Необходимость. Пусть r=rgA r£r(A|В). Поэтому достаточно показать, что ранг матрицы А не меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. r³r(A|В). Пусть система (1) совместна.
Это означает, что столбец В= в расширенной матрице системе является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Без ограничения общности, пусть он будет расположен в верхнем левом углу, т.е. Мr= 
.
По теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как "j>k существуют такие числа lijÎR, i=1,2,…,k a j=l1j a 1+l2j a 2+…+lrj a r,
Где a j – j-й столбец матрицы А.
Тогда столбец b = a1 x1+…+ ar xr+ a r+1xr+1+…+ a nxn=
= a 1x1+…+ a rxr+(l1,r+1 a 1+l2,r+1 a 2+…+lr,r+1 a r)xr+1+…+(l1n a 1+l2n a 2+…+lr n a r)xn
Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это значит, что Мr является также базисным минором расширенной матрицы (A|В), т.к.
1) он ненулевой;
2) если взять какой-либо окаймляющий минор М¢, то либо он будет минором матрицы А, т.е. ненулевым, либо он будет содержать столбец В и, следовательно, не может быть ненулевым, т.к. его столбцы линейно зависимы. Поэтому rg (A|В)=rg A.
Достаточность. Пусть rg (A|В)=rg A. выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным и в матрице (A|В). Значит, столбец В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a1,…, ar:
В= a1 x¢1+…+ ar x¢r.
Полагая x¢r+1=x¢r+2=…=x¢n=0, получаем решение x¢1,…,x¢n исходной СЛАУ, т.к.
В= a1 x¢1+…+ ar x¢r= a1 x¢1+…+ ar x¢r+0ar+1+…+0an.
Это означает, что СЛАУ совместна. Ч.т.д.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 64 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Вычисление ранга матрицы. | | | Система n линейных уравнений с n неизвестными. |