Читайте также:
|
|
Пусть дана квадратная система, т.е. m=n, , т.е. матрица системы квадратная и невырожденная. Δ=|А| - определитель системы.
Теорема 1. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет и притом единственное решение.
Доказательство. Покажем сначала единственность решения (в предположении, что оно существует). Пусть существуют n чисел х1,х2,…,хn такие, что при подстановке в систему все уравнения системы обращаются в верные тождества:
(8)
Тогда умножая тождества (8) соответственно на алгебраические дополнения A1j, A2j,…,Anj элементов j-го столбца определителя D матрицы А= и складывая полученные при этом тождества, получим "j=1,2,…,n:
=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj.
Т.к., по свойствам определителя, , то из последнего равенства получаем, что xjD=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj (9)
Обозначим Δj – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Тогда равенство (9) примет вид: xjD=Δj.
В итоге получаем (j=1,2,…,n) (10) – формулы Крамера (Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик).
Т.о., если решение квадратно системы существует, то оно однозначно определяется формулами (10).
Докажем теперь существование решения. Покажем, что rg (A|В)=rg A.
Т.к. D¹0, то rg A=n, а расширенная матрица (A|В) содержит только n строк, следовательно rg (A|В)£nÞ rg (A|В)=n=rg A ч.т.д.
Матричный способ решения СЛАУ (при помощи А-1).
Матричная запись СЛАУ: АХ=В. (6)
Т.к. матрица системы А квадратная и невырожденная, то существует обратная матрица А-1.Умножая слева обе части матричного равенства (2) на А-1, получим А-1(АХ)=А-1В. Т.к. А-1(АХ)= (А-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец:
Хnx1=Аnxn-1Вnx1 (11)
Пример. , , , . х1=-4, х2=1, х3=2. А-1=
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 56 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). | | | Система m уравнений с n неизвестными. |