Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Система n линейных уравнений с n неизвестными.

Линейное свойство определителя. | Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то и определитель умножится на это число λ. | Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0. | Определитель суммы и произведения матриц. | Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы). | Элементарные преобразования над матрицами. | Линейная зависимость строк. | Вычисление ранга матрицы. | Пример с. 75. | Однородные системы линейных уравнений. |


Читайте также:
  1. BPwin и система просмотра модели
  2. III. Система ценообразования, включающая ответственность за ущерб
  3. IV. Система ценообразования, когда нет ответственности за ущерб
  4. PR как система
  5. V систематизировать материал для подготовки отчета по практике.
  6. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  7. Антилай без боли (спрей-система) 718А

Пусть дана квадратная система, т.е. m=n, , т.е. матрица системы квадратная и невырожденная. Δ=|А| - определитель системы.

Теорема 1. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет и притом единственное решение.

Доказательство. Покажем сначала единственность решения (в предположении, что оно существует). Пусть существуют n чисел х12,…,хn такие, что при подстановке в систему все уравнения системы обращаются в верные тождества:

(8)

Тогда умножая тождества (8) соответственно на алгебраические дополнения A1j, A2j,…,Anj элементов j-го столбца определителя D матрицы А= и складывая полученные при этом тождества, получим "j=1,2,…,n:

=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj.

Т.к., по свойствам определителя, , то из последнего равенства получаем, что xjD=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj (9)

Обозначим Δj – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Тогда равенство (9) примет вид: xjD=Δj.

В итоге получаем (j=1,2,…,n) (10) – формулы Крамера (Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик).

Т.о., если решение квадратно системы существует, то оно однозначно определяется формулами (10).

Докажем теперь существование решения. Покажем, что rg (A|В)=rg A.

Т.к. D¹0, то rg A=n, а расширенная матрица (A|В) содержит только n строк, следовательно rg (A|В)£nÞ rg (A|В)=n=rg A ч.т.д.

Матричный способ решения СЛАУ (при помощи А-1).

Матричная запись СЛАУ: АХ=В. (6)

Т.к. матрица системы А квадратная и невырожденная, то существует обратная матрица А-1.Умножая слева обе части матричного равенства (2) на А-1, получим А-1(АХ)=А-1В. Т.к. А-1(АХ)= (А-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец:

Хnx1nxn-1Вnx1 (11)

Пример. , , , . х1=-4, х2=1, х3=2. А-1=


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 56 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).| Система m уравнений с n неизвестными.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)