Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейное свойство определителя.

Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0. | Определитель суммы и произведения матриц. | Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы). | Элементарные преобразования над матрицами. | Линейная зависимость строк. | Вычисление ранга матрицы. | Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). | Система n линейных уравнений с n неизвестными. | Система m уравнений с n неизвестными. | Пример с. 75. |


Читайте также:
  1. Главное свойство исторического процесса
  2. Главное свойство исторического процесса
  3. ЗНАЧЕНИЕ И СВОЙСТВО МИНЕРАЛОВ
  4. Линейное распределение первичных данных
  5. Нелинейное кодирование
  6. Один и тот же алгоритм можно применять для решения целого класса однотипных задач, различающихся исходными данными - это свойство

Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (столбцов).

При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство. Допустим сначала, что переставлены две соседние строки матрицы: i и i+1. Разложим определитель исходной матрицы Δ по элементам i-й строки, а определитель новой матрицы Δ΄ - по элементам (i+1)-й строки. Разложения будут отличаться только знаком, т.к. в разложении определителя Δ΄ каждое алгебраической дополнение Ai+1j будет иметь противоположный знак (множители (-1)i+j сменятся на множители (-1)i+1+j). Т.о. Δ=-Δ΄.

Если переставить не соседние строки, а, например, i-ю и (i+m)-ю, то эту перестановку можно рассматривать как последовательное смещение i-й строки на m строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а (i+m)-й строки на (m-1) вверх и (m-1) раз меняется знак, т.е. знак поменяется нечетное число раз: (m+m-1=2m-1). Следовательно, Δ =-Δ΄.

Для столбцов доказательство аналогично.

Линейное свойство определителя.

Некоторая строка а=(а12,…,аn) называется линейной комбинацией строк b=(b1,b2,…,bn), c=(c1,c2,…,cn),…, d=(d1,d2,…,dn), с коэффициентами λ12,…,λk если она равна сумме произведений этих строк на эти числа:

a=λ1b+λ2c+…+λkd, т.е. aj1bj2cj+…+λkdj "j=1,2,…,n

Если в определителе n-го порядка D некоторая i-я строка (ai1,ai2,…,ain) является линейной комбинацией строк (bi1,bi2,…,bin) и (ci1,ci2,…,cin) с коэффициентами l и m, то D=lD1+mD2, где D1 – определитель, у которого i-я строка равна (bi1,bi2,…,bin), а все остальные строки такие же, как и у D, а где D2 – определитель, у которого i-я строка равна (сi1i2,…,сin), а все остальные строки такие же, как и у D.

= +

Доказательство. Разложим каждый из определителей D, D1, и D2 по i-й строке по формуле Δ=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin= . Заметим, что алгебраические дополнения Aij i-й у всех 3-х определителей одинаковы. Следовательно, формула D=lD1+mD2 следует из равенств aj=λbj+mcj "j=1,2,…,n ч.т.д.

Замечание. Линейное свойство справедливо и для случая, когда i-я строка является линейной комбинацией не 2-х, а нескольких строк.

Рассмотренные 3 свойства являются основными свойствами определителя. Следующие 5 свойств являются логическими следствиями этих свойств.

4. Определитель с двумя о динаковыми строками (столбцами), то равен 0.

Док-во. Переставим равные строки (столбцы) местами. С одной стороны, определитель не изменится, а с другой, по св-ву 2, поменяет знак. Т.е. Δ=-Δ, след-но, Δ=0.


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Сам смогу бросить, мне не нужна помощь.| Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то и определитель умножится на это число λ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)