Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения

Векторное произведение векторов

1. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить:

1.1. . 1.2. .

2. Даны координаты и . Найти координаты векторных произведений:

2.1. . 2.2. . 2.3. .

3. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки , величину и направляющие косинусы момента.

4. Вычислить синус угла, образованного векторами
и .

5. Даны точки , и . Вычислить площадь треугольника .

6. Даны вершины треугольника , и . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины на сторону .

7. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Ox. Зная, что , найти его координаты.

Смешанное произведение векторов

8. Доказать, что четыре точки , , , лежат в одной плоскости.

9. Установить, компланарны ли векторы если:

9.1.

9.2.

9.3.

10. Даны вершины треугольной пирамиды: . Найти объем пирамиды и длину его высоты, опущенной из вершины .

11. Объем треугольной пирамиды три его вершины находятся в точках Найти координаты четвертой вершины , если известно, что она лежит на оси Oy.

12. Какую тройку векторов (правую, левую) образуют векторы: ?

13. Образуют ли базис векторы ?

Дополнительные задания

Д-1. Найти пр.

Д-2. Найти орт вектора , где ,

Д-3. Найти площадь параллелограмма , если его тремя последовательными вершинами являются точки

Д-4. Векторы и являются сторонами параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

Д-5. Найти длину опущенной на сторону высоты треугольника, если

Д-6. Найти значение , при котором четыре точки и лежат в одной плоскости.

Д-7. При каких значениях тройка векторов , будет левой и объем параллелепипеда, на них построенного, равен 5 ед³?

Д-8. При каком значении если ?

Д-9. Найти значение , при котором если

Д-10. Найти значение , при котором если

Д-11. На векторах и построен параллелепипед. Найти длину его высоты, опущенной из вершины
на грань векторов

Д-12. Объем треугольной пирамиды равен 12. Найти координаты вершины , если а точка лежит на оси Oz, причем векторы образуют левую тройку.

Д-13. Вектор , перпендикулярный векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Зная, что найти его координаты.

Д-14. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

Д-15. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор , если ,

Д-16. Доказать, что при любых векторах векторы
и компланарны.

Д-17. Показать, что векторы и могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.

Д-18. Векторы и образуют угол 45^о. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и если

Д-19. Дана пирамида с вершинами в точках Найти:

Д-19.1. Длины ребер Д-19.2. Площадь грани Д-19.3. Угол между ребрами и Д-19.4. Объем пирамиды.

Д-19.5. Длину высоты, опущенной на грань

Итоговый самоконтроль

С-1. Как построить вектор, перпендикулярный двум векторам
и ?

С-2. Чему равна проекция ?

С-3. Векторы , Какому условию удовлетворяют векторы и ?

С-4. Как установить компланарность трех векторов, заданных своими координатами?

С-5. Как установить коллинеарность двух векторов, заданных своими координатами?

С-6. Как установить, образуют ли базис в R ³ три вектора, заданные своими координатами?

С-7. Доказать, что векторы и компланарны тогда и только тогда, когда среди чисел и есть равные.

С-8. Пусть — некомпланарные векторы. Как связаны
между собой числа если векторы и компланарны?

С-9. Векторы удовлетворяют условию Доказать, что векторы компланарны.

С-10. Доказать, что если векторы удовлетворяют равенству то

С-11. Даны единичные векторы Зная, что , доказать равенство

С-12. Зная, что , найти соотношение между векторами не содержащее коэффициентов и

С-13. Чему равно смешанное произведение векторов и , где и — произвольные числа?

С-14. Чему равно:

1. . 2. .

3. . 4. .

С-15. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны?

С-16. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

С-17. Чему равно векторное произведение противоположных векторов?

С-18. Изменится ли векторное произведение, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю?

С-19. Верны ли утверждения:

а) б)

в) г) .

Ответы поясните.

С-20. Доказать, что

косинус угла между векторами и .

18. Вектор перпендикулярен векторам и , причем пр. , где . Найти .

Дополнительные задания

Д-1. Известно, что , , . Вычислить:

Д-1.1. . Д-1.2. , .

Д-1.3. . Д-1.4. Пр. .

Д-2. Найти , если , , .

Д-3. Вычислить косинус угла между векторами и .

Д-4. Даны три силы , и , приложенные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .

Д-5. Вычислить угол между векторами и , если и .

Д-6. При каком натуральном значении векторы и имеют одинаковую длину, если , , .

Д-7. Даны векторы , .Найти:

Д-7.1. . Д-7.2. Пр. .

Д-7.3. . Д-7.4. Пр. .

Д-8. В плоскости найти вектор , если , и .

Д-9. Найти вектор , коллинеарный вектору , если , где .

Д-10. Найти пр. вектора на ось, образующую с координатными осями равные острые углы.

Д-11. Вектор перпендикулярен векторам и и образует с осью тупой угол. Найти его координаты, зная, что

Д-12. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Д-13. Найти вектор , перпендикулярный векторам и , если пр. , где .

Д-14. Дано: , . При каком ?

Д-15. Даны векторы , и . Вычислить пр. .

Д-16. Даны точки и . Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Д-17. Точки , , являются вершинами треугольника . Вычислить косинус внешнего угла при его вершине .

Д-18. В треугольнике вершины , , , и — медианы треугольника. Найти пр. .

Д-19. Дано: , , . Найти модуль вектора .

Д-20. В треугольнике вершины имеют координаты , , . Найти:

Д-20.1. Длины сторон.

Д-20.2. Косинусы внутренних углов.

Д-20.3. Острый угол между медианой и стороной .

Итоговый самоконтроль

С-1. Как установить ортогональность векторов и ?

С-2. Как связаны в равностороннем треугольнике векторы и ?

С-3. Точки и — середины сторон и четырехугольника. Как выразить через векторы и его сторон?

С-4. В треугольнике . Определить вид треуголь-
ника .

С-5. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна . Найти величину .

С-6. В треугольнике даны длины его сторон , , . Найти .

С-7. Какой наибольший угол могут образовать векторы и ?

С-8. Доказать, что тогда и только тогда, когда .

С-9. Пусть для двух ненулевых векторов и выполняется равенство . Какому условию это равносильно?

С-10. Упростить выражение: .

С-11. Если , то какому условию должны удовлетворять векторы и ?

С-12. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю?

С-13. Пусть , , — ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство: .

С-14. Зная, что , , , , вычислить .

С-15. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны?

С-16. Найти угол между биссектрисами углов и .

С-17. Следует ли из равенства , где — единичный вектор, равенство векторов и ? Ответ поясните.

Дата добавления: 2015-08-27