Равномерная непрерывность

Предположим, что функция у = f (x) определена и непрерывна во всем промежутке Р (замкнутом или нет, конечном или бесконечном), т.е. непрерывна в каждой точке х ₀Î Р. Тогда для каждой точки х ₀ из Р в отдельности по заданному найдется , что влечет за собой . При изменении х ₀ в пределах Р,даже если неизменно, число d_e, вообще говоря, будет меняться. В достоверности этого можно убедиться из рисунка 14. Число d_e, пригодное на участке, где функция изменяется медленно (график представляет пологую кривую), может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения функции (где график круто поднимается или опускается). Иными словами, число d_e вообще зависит не только от e, но и от х ₀.

Рис. 14

Таким образом, по отношению к функции f (x), непрерывной в промежутке Р, встает вопрос: существует ли, при заданном e, такое d_e, которое годилось бы для всех точек х ₀ из этого промежутка?

Определение. Если для каждого числа e > 0 найдется такое число d_e > 0, что | х–х ₀| < d_e влечет за собой | f (x) – f (x ₀)| < e, где бы в пределах рассматриваемого промежутка Р ни лежали точки х ₀ и х, то функцию f (x) называют равномерно непрерывной в промежутке Р.

В этом случае число d_e оказывается зависимым только от e и может быть указано до выбора точки х ₀: d_e годится для всех х ₀одновременно.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента х ₁ и х ₂, чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции f (x ₁) и f (x ₂), т.е. для любого e > 0 можно найти d_e > 0, зависящее только от e, такое, что х ₁и х ₂ из промежутка Р, удовлетворяющих неравенству | х ₂ – х ₁| < d_e, значения функции удовлетворяют неравенству | f (x ₂) – f (x ₁)| < e.

Непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномерной непрерывности в этом промежутке. Однако, если этот промежуток Р замкнут, т.е. если Р = [ a, b ], то справедлива теорема, принадлежащая Кантору и которую мы примем без доказательства.

Теорема Кантора. Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [ a, b ], то она и равномерно непрерывна в этом промежутке.

8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов

Если функция определена в некоторой окрестности точки х ₀ и, может быть, в самой точке х ₀, однако условия непрерывности в этой точке не выполняются, то точка х ₀ называется точкойразрыва функции, а функция называется разрывной.

Остановимся подробнее на вопросе о разрыве функции f (x) в точке х ₀ и рассмотрим три случая.

1. Функция определена в точке х ₀ и ее окрестности. Для нее в точке х ₀ существуют конечные односторонние пределы. Тогда точка х ₀ будет точкой разрыва функции если:

а) – функция f (x) имеет в точке х ₀ разрыв справа;

б) – разрыв слева;

в)

или – функция f (x) имеет в точке х ₀ разрывы как справа, так и слева.

Такие разрывы функции называют обыкновенным или разрывом первого рода. В этом случае говорят также, что функция f (x) в точке х ₀ производит скачок, по величине равный f (x + 0) – f (x ₀ – 0). Если в точке х ₀ скачок функции равен нулю, т.е. , то точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва. В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить так, чтобы получить непрерывную функцию в этой точке. Например, функцию , для которой, как известно, (или ) можно доопределить и получить непрерывную функцию

Таким образом, точки разрыва первого рода делятся на точки устранимого и точки неустранимого разрыва.

---

Дата добавления: 2015-07-20