Определение непрерывности функции в точке

Функция называется непрерывной в некоторой точке х ₀, если:

1) функция определена в точке х ₀ и ее окрестности;

2) существует предел функции при х ® х ₀, который равен значению функции в точке х ₀.

. (1.23)

Равенство (1.23) показывает, что для непрерывных в точке функций знак характеристики функции и знак предела можно менять местами. Здесь .

Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения х ₀ к другому значению х можно себе представить так, что значению х ₀ придано приращение D х ₀ = х – х ₀. Новое значение функции y = f (x) = f (х ₀+D х ₀) разнится от старого у ₀ = f (x ₀) на приращение D у ₀ = f (х) – f (x ₀) = f (х ₀+D х ₀) – f (x ₀). Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение D у ₀ в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением D х ₀ независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Возвращаясь к основному определению (1.23), раскроем его содержание на «языке e – » (1.12). Смысл непрерывности функции f (x) в точке х ₀ сводится к следующему: каково бы ни было число , для него найдется такое число , что неравенство влечет за собой . Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки х ₀.

Наконец, «на языке последовательностей» (1.13) непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из окрестности х ₀: х ₁, х ₂,…, х_п, …, сходящуюся к х ₀ , ни взять, соответствующая последовательность значений функции f (х ₁), f (х ₂),…, f (х_п),… сходится к f (x ₀).

Отметим, что в (1.12) и (1.13) функция f (x) в точке х ₀ может быть и не определена, но непрерывная в точке х ₀ функция должна быть определена в этой точке. Поэтому требование | х – х ₀| > 0 здесь излишне.

---

Дата добавления: 2015-07-20