Определение и геометрическое истолкование предела функции

Пусть f – числовая функция переменного х, определенная на числовом множестве P, для которого х ₀ является точкой сгущения. Нас будет интересовать, как ведут себя значения y = f (x) функции f, когда аргумент х стремится к х ₀.

Определение 1(предел функции по Коши). Постоянное число l называют пределом функции f переменного х при стремлении х к х ₀ (или в точке х ₀), если для каждого найдется такое число , зависящее от , что , лишь только

(1.12)

где х взято из области определения Р функции f и отлично от точки сгущения х ₀ множества Р.

Определение 2(предел функции по Гейне). Постоянное число l называют пределом функции f переменного х, если для любой последовательности значений аргумента х ₁, х ₂,…, х_п,… из области определения P функции f, имеющей пределом число х ₀ где х ₀ может и не принадлежать области Р), последовательность значений функции f (x ₁), f (x ₂), …, f (x_п), … для этих значений аргумента имеет пределом число l, .

Эти два определения предела функции равносильны. Тот факт, что l является пределом функции f (x) при х ® х ₀, записывают так:

. (1.13)

Геометрическое определение предела функции можно истолковать следующим образом.

Число l является пределом функции f (x) при х ® х ₀, если для любой -окрестности точки l можно найти такую d -окрестность точки х ₀, что если значения аргумента взяты из d -окрестности (х ₀ – d, х ₀ + d), то значения функции лежат в - окрестности (l – , l + ) (рис.13).

Рис. 13

На рис.13 сплошной кривой показаны точки графика функции f (x), для которых координата (х ₀ – d, х ₀+ d), а у Î(l – , l+ ). В точке х ₀ значение функции может быть и не определено, поэтому эта точка на рисунке выделена кружочком и это означает тот факт, что принадлежность этой точки графику не является обязательным.

Пример. Доказать, что . Пусть задано любое . Найдем такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство . Условие означает, что х ¹ 2.

Преобразуем неравенство .

.

Допустим, что функция f (x) определена в некоторой окрестности точки 2, например, (0,4). С учетом этого

или .

Таким образом, если положить , тогда для всех (0,4), для которых выполняется условие , справедливо неравенство , а это означает, что .

6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции

Если область определения Р функции f (x) такова, что в любой близости от х ₀, но справа от х ₀, найдутся отличные от х ₀ значения х из Р (в этом случае точку х ₀ называют правой точкой сгущения для Р), то можно специализировать только что данные определения предела функции, ограничившись лишь значениями . В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции f (x) при стремлении х к х ₀ справа, или, короче, пределом (в точке х ₀) справа и обозначается символом .

Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к х ₀ слева или о пределе (в точке х ₀) слева: .

Если точка х ₀ является одновременно точкой сгущения для Р и правой, и левой, то, как легко установить, для существования предела (1.13) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:

= = l. (1.14)

Когда х ₀ = 0, вместо 0 + 0 (0 – 0) пишут +0 (–0).

При стремлении х к конечному пределу х ₀ функция может иметь и бесконечный предел (без знака или определенного знака).

Определение 1. Функция f (x) имеет пределом ¥ при стремлении х к х ₀ (в точке х ₀), если для каждого числа m > 0 найдется такое число d_m > 0, зависящее от m, что

, лишь только (1.15)

(где, как и всегда, х взято из Р и отлично от х ₀).

Если при этом функция f (x) для достаточно близких к х ₀ значений х сохраняет положительный (отрицательный) знак, так что первое из неравенств (1.15) может быть заменено более узким: f (x) > m (f (x) < m), то говорят о пределе +∞ (–∞).

Запись этих фактов аналогична (1.13): .

Для рассмотренного случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.

Если множество Р содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) значения х (множество Р неограниченно), то говорят, что ¥ является точкой сгущения для Р. В этом предположении дадим следующее определение.

Определение 2. Функция f (x) при стремлении х к ∞ имеет предел l, если, каково бы ни было число , для него существует такое число , зависящее от , что

, лишь только , (1.16)

(где х берется из Р). При этом пишут: .

Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отрицательные) значения х, то говорят о пределе функции при стремлении х к +¥ (или к –¥).

Наконец, легко перефразировать все сказанное на случай l = ¥, +¥ или –¥.

При стремлении функции f (x) к нулю ее называют бесконечно малой; ее называют бесконечно большой, если f (x) стремится к ¥. Если последнее обстоятельство имеет место при х ® х ₀, то говорят также, что в точке х ₀ функция обращается в бесконечность.

Пример 1. Рассмотрим функцию

Очевидно, .

Отсюда, на основании (1.14), можно заключить, что не существует.

Пример 2. Докажем, что (при а > 1).

При любом m > 0 достаточно взять d_m = log_a m, чтобы х > d_m влекло за собой а^х > m, что и доказывает наше утверждение.

Аналогично доказывается, что (при а > 1).

Именно, каково бы ни было , если взять , то при необходимо .

Если же 0 < а < 1, то с помощью преобразования легко установить результаты

(при 0 < а < 1).

Основываясь на этих случаях, можно показать, что (при а > 0 и а ¹ 1) и, следовательно, функция f (x) = а^х при х ® ¥ является бесконечно большой. Однако, если х ® –¥ (при а > 1) и х ® +¥ (при 0 < а < 1), то функция f (x) = а^х является бесконечно малой.

Пример 3. Руководствуясь примером 2, легко установить, что:

(при а > 1); (при 0 < а < 1);

(при а > 1); (при 0 < а < 1).

Следовательно, функция (при а > 0 и а ¹ 1) при х ® +¥ и х ® +0 является бесконечно большой, т.е. и .

Пример 4. Показать, что функция при х ® 0 является бесконечно большой, т.е. .

Пусть задано m > 0. Найдем такую d_m - окрестность нуля, что при всех х из этой окрестности (х ¹ 0) выполняется неравенство .

Рассмотрим неравенство . Из этого неравенства следует:

.

Положив , получим, что, как только , имеем , а это значит, что ∞.

Заметим, что ; . Однако несмотря на это условие (1.14) для существования предела в точке х ₀ = 0 считается выполненным l =∞.

Дата добавления: 2015-07-20