Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение и геометрическое истолкование предела последовательности

П Р Е Д И С Л О В И Е | Ограниченные числовые множества | Числовые промежутки. Окрестность точки | Графический способ задания функции | Трансцендентные функции | Параметрическое задание функции | ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ | Основные (простейшие) элементарные функции | Элементарные функции | Монотонные функции |


Читайте также:
  1. A) определение b) обстоятельство c) часть глагола-сказуемого
  2. I. Определение сильных и слабых сторон вашего типа личности, которые могут проявиться в работе.
  3. I.3.1. Определение номенклатуры и продолжительности выполнения видов (комплексов) работ
  4. II этап. Определение рыночной стратегии
  5. II. 3. Определение потребности и выбор типов инвентарных зданий
  6. II. Измерение амплитудной характеристики усилителя и определение его динамического диапазона
  7. Quot;Кайф" - это не эффект, а истолкование

Пусть задана числовая последовательность { yn }, где yn – значения числовой функции f, переменного n Î N; т.е. yn = f (n) или yn = fn f: N ® R.

Определение. Постоянное число a называется пределом числовой последовательности { yn }, если для каждого положительного числа e, сколь бы мало оно ни было, найдется такое натуральное число ne,зависящее от e, что все члены последовательности с номерами n > ne,удовлетворяют неравенству

| yn - a | < e. (1.8)

Тот факт, что a является пределом последовательности { yn }, записывают так: или .

Геометрически определение предела последовательности можно истолковать следующим образом.

Неравенство (1.8), как мы знаем, равносильно следующим: -e < yn - a < e или a - e < yn < a + e. Изобразим числа a, a ± e и значения yn последовательности точками на числовой оси y (рис.12).

Точка a будет пределом последовательности { yn }, если существует такое ne, что все члены yn последовательности, начиная с n > ne, окажутся в e -окрестности точки a, т.е. какую бы ни взяли малую e - окрестность точки a, если внутри этой окрестности окажется бесконечное множество членов последовательности (с n > ne), а вне ее разве лишь конечное число (не более ne первых членов), то эта точка будет пределом последовательности.

Рис. 12

 

Если последовательность { yn } имеет конечный предел a, то ее называют сходящейся и говорят, что эта последовательность сходится к a или стремится к a, и пишут: yn ® a.

Постоянная последовательность { yn } = { a } имеет пределом число a и является сходящейся последовательностью.

Пример: Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный единице.

Доказательство. Рассмотрим разность и оценим ее абсолютную величину: . Выражение меньше любого числа e > 0, если . Этим и доказано, что yn ®1. Действительно, выберем , тогда " n > ne; получаем, что | yn – 1| < e, откуда, по определению, lim yn = 1.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 158 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Четные и нечетные функции| Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)