Читайте также:
|
|
Пусть задана числовая последовательность { yn }, где yn – значения числовой функции f, переменного n Î N; т.е. yn = f (n) или yn = fn ,а f: N ® R.
Определение. Постоянное число a называется пределом числовой последовательности { yn }, если для каждого положительного числа e, сколь бы мало оно ни было, найдется такое натуральное число ne,зависящее от e, что все члены последовательности с номерами n > ne,удовлетворяют неравенству
| yn - a | < e. (1.8)
Тот факт, что a является пределом последовательности { yn }, записывают так: или .
Геометрически определение предела последовательности можно истолковать следующим образом.
Неравенство (1.8), как мы знаем, равносильно следующим: -e < yn - a < e или a - e < yn < a + e. Изобразим числа a, a ± e и значения yn последовательности точками на числовой оси y (рис.12).
Точка a будет пределом последовательности { yn }, если существует такое ne, что все члены yn последовательности, начиная с n > ne, окажутся в e -окрестности точки a, т.е. какую бы ни взяли малую e - окрестность точки a, если внутри этой окрестности окажется бесконечное множество членов последовательности (с n > ne), а вне ее разве лишь конечное число (не более ne первых членов), то эта точка будет пределом последовательности.
Рис. 12
Если последовательность { yn } имеет конечный предел a, то ее называют сходящейся и говорят, что эта последовательность сходится к a или стремится к a, и пишут: yn ® a.
Постоянная последовательность { yn } = { a } имеет пределом число a и является сходящейся последовательностью.
Пример: Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный единице.
Доказательство. Рассмотрим разность и оценим ее абсолютную величину: . Выражение меньше любого числа e > 0, если . Этим и доказано, что yn ®1. Действительно, выберем , тогда " n > ne; получаем, что | yn – 1| < e, откуда, по определению, lim yn = 1.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 158 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Четные и нечетные функции | | | Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел |