Монотонные функции

Определение. Если для двух любых различных значений аргумента x ₁и x ₂, взятых из области определения Р функции f, из неравенства x ₁ < x ₂ следует, что

а) f (x ₁) < f (x ₂),то функция f называется возрастающей в области Р,

б) f (x ₁) £ f (x ₂),то функция f называется неубывающей в области Р,

в) f (x ₁) > f (x ₂),то функция f называется убывающей в области Р,

г) f (x ₁)³ f (x ₂),то функция f называется невозрастающей в области Р.

Функции всех этих типов носят общее название монотонных.

Из основных элементарных функций монотонными на всей области их существования являются следующие функции: f (x) = xⁿ, n – нечетное натуральное число (возрастающая); y = a^x (возрастающая, если a > 1, убывающая, если 0 < a < 1); y = log_a x (возрастающая, если a > 1, убывающая, если 0 < a < 1); y = arcsin x (возрастающая); y = arccos x (убывающая); y = arctg x (возрастающая); y = arсctg x (убывающая).

Остальные основные элементарные функции монотонными являются лишь на некоторых подмножествах, выделенных из всей области существования соответствующей функции. Например, функция y = sin x на всей числовой оси не является монотонной. Однако на отдельно выделенных отрезках [ – p/2+ k p,p/2+ k p], где k Î Z, данная функция является монотонной. На отрезках, для которых k = 0, ±2, ±4,... функция y = sinx является возрастающей, а на отрезках, для которых k = ±1, ±3, ±5,... – убывающей.

Дата добавления: 2015-07-20