Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Обратная функция для аналитически заданной функции

ОДЕССА 2009 | П Р Е Д И С Л О В И Е | Ограниченные числовые множества | Числовые промежутки. Окрестность точки | Графический способ задания функции | Трансцендентные функции | Элементарные функции | Монотонные функции | Четные и нечетные функции | Определение и геометрическое истолкование предела последовательности |


Читайте также:
  1. F52 Половая дисфункция, не обусловленная органическим расстройством или заболеванием
  2. I. Перепишите следующие предложения и переведите их на русский язык, обращая внимание на функции инфинитива.
  3. I. Понятие об эмоциях, их структура и функции. Механизмы психологической защиты
  4. III. Исследование функции почек по регуляции кислотно-основного состояния
  5. III. Функции Бюро контрольных работ
  6. III. Функции действующих лиц
  7. III. Функции Родительского комитета

 

Пусть функция у = f (x), заданная аналитическим выражением, определена в некоторой области Р и пусть Е будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области Р, т.е. Е = f (Р) (обычно как Р,так и Е будут представлять собой числовые промежутки).

Выберем какое-нибудь значение у = у 0 из области Е; тогда в области Р необходимо найдется такое значение х = х 0, при котором наша функция принимает именно значение у 0, так, что f (х 0) = у 0, или, разрешив это уравнение относительно х 0, то

х 0= g (у 0). (1.5)

Если каждому значению у из Е ставится в соответствие только одно значение х из Р, то это означает, что аналитическим выражением (1.5) задается функция х = g (у), определенная на Е и со значениями в Р, и во-вторых, что функция у = f (x) представляет собой взаимно однозначное отображение и, следовательно, для нее существует обратная функция f 1.

Покажем, что функция g: E ® P является обратной для функции f: P ® E, т.е. g = f 1. Действительно, при подстановке x = g (y) в y = f (x) мы получаем тождество y = f [ g (y)] = y,аналогично x = g [ f (x)] = x. Это означает, что композиция (суперпозиция) функций g на f или f на g осуществляют тождественное отображениесоответственно e: y ® y или e: x ® x,т.е. f о g = g о f = e и, следовательно, g = f 1.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда каждому значению y из E ставится в соответствие не одно, а несколько (например, k) значений x из P, т.е. если y = y 0, то x = x 0 i , i = 1,..., k. Для этого случая функция f: P ® E не представляет собой взаимно однозначное отображение, а аналитическое выражение (1.5) не может определять функцию. Для этой ситуации поступим следующим образом. Разобьем область определения P функции y = f (x) на k подмножеств P i , i = 1,2, ..., k так, чтобы каждому значению y из E ставилось в соответствие только одно значение x из P i и при этом f (P i) = E. Тогда, ограничив область определения функции y = f (x) подмножеством P i , мы получим ситуацию, аналогичную рассмотренной выше. Откуда следует, что функция y = f (x),на подмножестве Pi , имеет обратную функцию и ею является функция x = g (y), определенная на E, но со значениями в P i , т.е. f: P i ® E, а f 1 = g: E ® P i.

Если функция x = g (y)является обратной для функции y = f (x), то очевидно графики обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е. вместо функции x = g (y) рассматривать y = g (х).Если при этом по-прежнему значения х откладывать по горизонтальной оси, а значения у – по вертикальной, то графики этих функций будут различны. График обратной функции будет симметричен графику прямой функции y = f (x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов у = х.

Примеры:

1. y = ax (a > 0, a ¹ 1) – показательная функция. Эта функция определена на промежутке P = ( ∞, +∞), а значения y заполняют промежуток E = (0,+∞),причем каждому y из этого промежутка отвечает в P одно значение x = log a y. Таким образом, выражение x = log a y есть функция, определенная на E и эта функция является обратной для функции y = ax, определенной на P. Действительно, , или . Графики этих функций представлены на рис.2.

Рис. 2

2. y = xn – степенная функция, где n Î N. Такая функция определена на промежутке R = (-∞, +∞), а значения y заполняют либо промежуток E 1 = ( ∞,+∞), если n – нечетное число, либо промежуток E 2 = (0,+∞), если n – четное число.

В первом случае любому y = y 0 из E 1 отвечает в P одно значение или () и, следовательно, выражение определяет обратную функцию для . На рис.3 показаны графики прямой (сплошная кривая) и обратной (пунктирная кривая) функций.

Во втором случае функция y = xn, не имеет обратной, так как одному значению у = у 0 из Е 2 = (0, +∞) соответствуют два значения x = x 0 k , k = 1,2 из P: , .

Однако, если область определения P функции y = xn разбить на два подмножества P 1 = [0, +∞) и P 2 = ( ∞, 0) и область определения функции y = xn ограничить этими подмножествами, то на каждом из этих подмножеств функция y = xn имеет обратную функцию.

Рис. 3 Рис. 4

На промежутке P 1 обратной функцией является , а на P 2. Графики прямой и обратной функций для области определения P 2 показаны на рис.4 сплошной кривой, а для P 1 – пунктирной. Следует обратить внимание на то, что область определения P 2 представляет собой открытый интервал, так как для y 0 = 0 соответствуют не два значения x из P, как для всех остальных y из E, а только одно: x = 0. Мы же точку ноль отнесли к первому промежутку. На графике на этот факт указывают стрелки при приближении к точке нуль.

3. y = sin x – тригонометрическая функция. График этой функции показан на рис.5. Как видно из графика, эта функция определена в промежутке P = (-∞,+∞), причем ее значения заполняют сплошь промежуток E =[-1,1]. Каждому значению y = y 0из E отвечает бесконечное множество значений x из P. Поэтому функция y = sin x, определенная на P, обратной функции не имеет. Однако, если промежуток P разбить на бесконечное число промежутков , где k = 0, ±1, ±2,... (k Î Z), то функция y = sin x, определенная на каждом таком промежутке Pk, имеет обратную функцию, определенную на промежутке (–1,1) и со значениями в данном промежутке Pk. Что же касается граничных точек , разделяющих промежутки Pk и Pk+ 1, то эти точки будем относить к промежутку Pk; тогда промежуток Pk будет замкнутым справа, а промежуток Pk+ 1 открытым слева, если k = 0, 1, 2... и, соответственно, замкнутым слева, а открытым справа если k = –1, –2.... Обычно обратную функцию для y = sin x рассматривают лишь для промежутка k = 0, т.е. . Обратим внимание, что это единственный замкнутый промежуток из всех разбиений Pk области Р. Каждому у 0 из [–1,1] в пределах отвечает одно значение х 00; его обозначают через х 00 = arcsin y 0, а все множество значений х 0 к из Р, которым в соответствие ставится у 0 из Е = [–1,1] записывают в виде х 0 k = (–1) k arcsin y 0 + p k, k Î Z.

Таким образом, обратная функция для y = sin x, определенная на замкнутом промежутке [–1,1], со значениями в замкнутом промежутке имеет вид х = arcsin y (либо у = arcsin х). График функции у = arcsin х показан на рис.6.

Подобные рассуждения для остальных тригонометрических функций приводят к следующим результатам:

а) функция y = cos x, определенная на замкнутом промежутке Р 0 = [0, p ], имеет обратную х = arccos у (либо у = arccos х), определенную на сегменте [1,1]. Множество всех значений х = х 0 k из Р = (-∞, +∞) соответствующих у = у 0 из Е = [–1,1] записывается

х 0 k = ± arccos y 0 + 2 p k, где k Î Z;

Рис. 5 Рис. 6

б) функция y = tg x, определенная на интервале имеет обратную x = arctg y (либо у = arcctg x), определенную на Е = (-∞, +∞). Множество значений х 0 k из Р соответствующих у 0 из Е записывают

х 0 k = arcсtg y 0 + pk, k Î Z.

Для значений функция у = tg x не определена;

в) функция у = ctg x; Р 0 = (0, p), имеет обратную х = arcctg у (у = arcctgx), Е = (-∞, +∞). Для значений х = kp, k Î Z функция у = ctg x не определена, х 0 k = arcсtg y 0 + kp.

Графики этих функций показаны на рис. 7 – 9.

 

Рис. 7

 

Рис. 8 (Переделать, асимптоты)

Рис. 9 (Переделать, асимптоты)

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 165 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Параметрическое задание функции| Основные (простейшие) элементарные функции

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)