Одесса 2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.И. МЕЧНИКОВА

ИНСТИТУТ ИННОВАЦИОННОГО И ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮРИН А.В.

МИРАКЬЯН М. Г.

ЖУКОВ С. А.

ОСНОВЫ

ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

ЧАСТЬ 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ОДЕССА 2009

О Г Л А В Л Е Н И Е

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………

КНИГА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……………........................

ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО.............................

§1.

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ………………………….

1.1.

Ограниченные числовые множества………………………..

1.2.

Числовые промежутки. Окрестность точки………………..

1.3.

Предельные точки множества………………………………

§ 2.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ………………………………..

2.1.

Табличный способ задания функции……………………….

2.2.

Графический способ задания функции……………………..

2.3.

Аналитический способ задания функции…………………..

2.4.

Неявное задание функции. Алгебраические и трансцендентные функции………………………………….

2.5.

Параметрическое задание функции………………………...

§3.

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ………………………………………………………….

§4.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ……

4.1.

Основные (простейшие) элементарные функции………….

4.2.

Элементарные функции……………………………………...

4.3.

Ограниченные функции……………………………………..

4.4.

Монотонные функции……………………………………….

4.5.

Четные и нечетные функции………………………………..

4.6.

Периодические функции…………………………………….

§5.

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ……………..

5.1.

Определение и геометрическое истолкование предела последовательности………………………………………….

5.2.

Некоторые теоремы о последовательностях, имеющих предел…………………………………………………………

5.3.

Бесконечно малые последовательности и их свойства……

5.4.

Бесконечно большие последовательности и их свойства…

5.5.

Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел……………………………………………

5.6.

Неопределенные арифметические выражения……………..

5.7.

Неопределенные степенно-показательные выражения……

5.8.

Монотонные последовательности…………………………..

5.9.

Принцип сходимости последовательности…………………

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..

§ 6.

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….

6.1.

Определение и геометрическое истолкование предела функции……………………………………………………….

6.2.

Односторонние и бесконечные пределы функции………..

6.3.

Распространение теории пределов.........................................

6.4.

Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений....................................................

§7.

КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО………………………….

7.1.

Сравнение бесконечно малых……………………………….

7.2.

Классификация бесконечно больших……………………….

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...

§8.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………..

8.1.

Определение непрерывности функции в точке…………….

8.2.

Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке………………………

8.3.

Равномерная непрерывность………………………………..

8.4.

Разрывы функции. Классификация разрывов………………

8.5.

Арифметические операции над непрерывными функциями…………………………………………………….

8.6.

Непрерывность и разрывы монотонной функции………….

8.7.

Непрерывность сложной функции………………………….

8.8.

Непрерывность элементарных функций……………………

8.9.

Общие свойства непрерывных функций……………………

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...

ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.................................

§1.

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ; ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА n -МЕРНОГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА……………………………………………………

§2.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ……………………………….

§3.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ………….

3.1.

Сведение к случаю предела последовательности точек из R^m ……………………………………………………………...

3.2.

Повторные пределы…………………………………………

§4.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ..

4.1.

Определение непрерывности (разрыва) функции нескольких переменных в точке……………………………

4.2.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных…………………………………………………..

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………...

ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО..........................

§1.

ПРОИЗВОДНАЯ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………………….

1.1.

Определение производной. Ее физическая и геометрическая интерпретация…………………………..

1.2.

Вычисление производных для основных элементарных функций……………………………………………………

1.3.

Производная обратной функции………………………….

1.4.

Простейшие правила вычисления производных………...

1.5.

Теорема о непрерывности функции, имеющей производную……………………………………………….

1.6.

Производная сложной функции…………………………..

1.7.

Производная показательно-степенной функции………...

1.8.

Производная неявно заданной функции…………………

1.9.

Производная функции, заданной параметрически………

1.10.

Односторонние производные…………………………….

1.11.

Бесконечные производные………………………………..

1.12.

Таблица основных формул для производных……………

§2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………

2.1.

Определение дифференциала и его геометрический смысл……………………………………………………….

2.2.

Основные формулы и правила дифференцирования……

2.3.

Инвариантность формы дифференциала…………………

2.4.

Использование дифференциала для приближенных вычислений…………………………………………………

§3.

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………………

3.1.

Определение производной n -го порядка…………………..

3.2.

Вычисление производной n -го порядка…………………...

3.3.

Формула Лейбница для n – ой производной произведения двух функций…………………………...........

3.4.

Дифференциалы высших порядков…………………………

3.5.

Параметрическое дифференцирование……………………..

§4.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ……………………………………………………...

4.1.

Теорема Ролля (теорема о корнях производной)…………..

4.2.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений)……

4.2.1.

Условие постоянства функции…………………...

4.2.2.

Условие монотонности функции…………………

4.3.

Формула Коши (обобщенная формула конечных приращений)…………………………………………………

§5.

ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ…...

5.1.

Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)………

5.1.1.

Раскрытие неопределенности вида

5.1.2.

Раскрытие неопределенности вида ……………..

5.1.3.

Раскрытие неопределенностей других видов………

5.2.

Формула Тейлора…………………………………………….

5.3.

Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций……………………………………..

5.4.

Интерполяционный полином Лагранжа……………………

5.4.1.

Установление функциональной зависимости……...

5.4.2.

Аппроксимация функций……………………………

5.5.

Исследование функции и построение графика…………….

5.5.1.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба..

5.5.2.

Максимумы и минимумы функции…………………

5.5.3.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

5.5.4.

Асимптоты……………………………………………

5.5.4.1.

Вертикальные асимптоты………………...

5.5.4.2.

Горизонтальные асимптоты……………...

5.5.4.3.

Наклонные асимптоты……………………

5.5.5.

Схема исследования функции и построения графика……………………………………………….

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………..............

ГЛАВА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ……..................................................................

§1.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………………………………..

1.1.

Определения и обозначения частных производных……..

1.2.

Геометрическое значение частных производных функции двух переменных……...........................................

§2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ........................

2.1.

Дифференцируемые функции многих переменных и их свойства…………………………………………………….

2.2.

Полный дифференциал функции многих переменных….

2.3.

Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных……………………………………….

§3.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА………………………………

§4.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА……………………………….

§5.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ……..

§ 6.

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ……………………….

6.1.

Производная по заданному направлению……………….

6.1.1.

Определение производной по заданному направлению………………………………………

6.1.2.

Существование и способ вычисления производной по заданному направлению..............

6.2.

Исследование пространственных кривых………………

6.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой

6.2.2. Производная по дуге пространственной кривой...

6.2.3. Кривизна пространственной кривой……………..

6.3.

Скалярное поле. Градиент…………………………………

§ 7.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА О НЕЗАВИСИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ОТ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ…………………………

§8.

ПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………..

§9.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………………………………………….

§10.

ЧИСЛОВЫЕ НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО…………………........

10.1.

Определение и примеры неявных числовых функций…………………………………………………

10.2.

Условия существования неявной числовой функции с геометрической точки зрения……………………………

10.3.

Теорема о существовании неявной числовой функции…...........................................................................

10.4.

Теорема о дифференцировании неявной числовой функции…………………………………………………

§ 11.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ………

11.1.

Определения. Необходимые условия существования экстремума……………………………………………….

11.2.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных……………………………………………….

11.3.

Условный экстремум…………………………………….

11.3.1.

Необходимые условия для существования условного экстремума…………………………

11.3.2.

Метод неопределенных множителей Лагранжа………………………………………..

УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………...............

ГЛАВА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ….

§1.

Неопределенный интеграл и его свойства………...

§2.

Таблица основных интегралов………………………..

§3.

Основные методы интегрирования функций……..

3.1.

Метод непосредственного интегрирования………………..

3.2.

Метод замены переменной (подстановки) под знаком интеграла……………………………………………………...

3.3.

Метод интегрирования по частям………………………….

§4.

Интегрирование рациональной функции…………..

§5.

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций………………………………

5.1.

Интегрирование иррациональных функций……………….

5.2.

Подстановки Эйлера…………………………………………

5.3.

Интегралы от дифференциального бинома. Теорема Чебышева…………………………………………………….

5.4

Интегрирование трансцендентных функций………………

Упражнения…………………………………………………………..

§6.

Определенный интеграл……………………………………

6.1.

Определение и геометрический смысл определенного интеграла…………………………………………………….

6.2.

Условия существования определенного интеграла……….

6.3.

Свойства определенного интеграла………………………..

6.4.

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………..

6.5.

Приближенное вычисление определенных интегралов….

§7.

Некоторые применения определенного интеграла………………………………………………………..

7.1

Определение и вычисление длины дуги кривой………….

7.2.

Вычисление площади плоских фигур……………………..

7.3.

Вычисление объема тел по площадям поперечных сечений……………………………………………………….

7.4.

Вычисление площади поверхности вращения……………..

§8.

Несобственные интегралы………………………………..

8.1.

Несобственные интегралы первого рода…………………...

8.2.

Несобственные интегралы второго рода…………………...

Упражнения……………………………………………..………..…..

ГЛАВА 6. ЧИСЛОВЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ……………………..

§1.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ………………………………………

§2.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ…

§3.

ЧИСЛОВЫЕ Ряды с положительными членами…….

§4.

ДостаточныЕ признакИ сходимости и расходимости рядов с положительными членами…………………………………………………………..

4.1.

Признак, основанный на сравнении двух рядов………...…

4.2.

Признак Даламбера………………………………………….

4.3.

Признак Коши………………………………………………..

4.4.

Интегральный признак сходимости или расходимости ряда……………………………………………………………

§5.

Ряды с произвольными членами………………..............

5.1.

Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды….

5.2.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница……………….

5.3.

Свойства сходящихся рядов с произвольными членами….

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..

ГЛАВА 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………….

§1.

Сходящиеся и равномерно сходящиеся ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды……………………………………..

1.1.

Определение функционального ряда и его сходимости…..

1.2.

Равномерно сходящиеся функциональные ряды…………..

1.3.

Достаточный признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда)………………………..

§2.

Непрерывность суммы функционального ряда….

§3.

Интегрирование и дифференцирование Функционального ряда…………………………………….

3.1.

Интегрирование функционального ряда…………………...

3.2.

Дифференцирование функционального ряда………………

§4.

Степенные ряды……………………………………………….

4.1.

Сходимость степенного ряда………………………………..

4.1.1.

Теорема Абеля………………………………………

4.1.2.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда…

4.1.3.

Определение радиуса сходимости степенного ряда

4.1.4.

Равномерная сходимость степенного ряда………..

4.2.

Дифференцирование степенного ряда……………………..

4.3.

Интегрирование степенного ряда…………………………..

§5.

Ряды Тейлора и Маклорена. Понятие аналитической функции………………………………….

5.1.

Аналитические функции…………………………………….

5.2.

Разложение в ряд Маклорена функции e^x …………………..

5.3.

Разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x ………...

5.4.

Разложение в ряд Маклорена функции ln (1+ x)

5.5.

Разложение в ряд Маклорена функции arctgx

5.6.

Разложение в ряд Маклорена функции (1+ x) ^α

§6.

Ряды с комплексными членами………………………..

6.1.

Предел последовательности комплексных чисел………….

6.2.

Сходимость ряда комплексных чисел………………………

6.3.

Степенной ряд комплексных чисел…………………………

6.4.

Разложение показательной функции e^z комплексного переменного z в степенной ряд. Формулы Эйлера………...

УПРАЖНЕНИЯ……………………………………………………..

Дата добавления: 2015-07-20