Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел

Теорема 1(о пределе суммы (разности)). Если последовательности { y_n } и { х_n } имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательности { y_n ± x_n } также имеют конечный предел, причем

.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что y_n = a + u_n, x_n = b + v_n, где последовательности { u_n } и { v_n } – бесконечно малые. Тогда y_n ± x_n = (a ± b) + + (u_n ± v_n).

Здесь последовательности { u_n ± v_n } есть бесконечно малые по теореме 1 (п.5.3); следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно утверждать, что последовательности { y_n ± x_n } имеют пределы, равные a ± b, что и требовалось доказать. Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности { y_n } и { х_n } имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательность { y_n x_n } также имеет конечный предел и lim { y_n · x_n } = lim y_n ·lim х_n = a · b.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема обобщается на случай конечного числа сомножителей.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim ly_n = l lim y_n, где l - постоянное число.

Действительно, если последовательность постоянная = { l }, то ее предел lim х_n = l. Тогда по теореме 2: lim { y_n · x_n } = lim y_n ·lim х_n = l lim y_n.

Теорема 3(о пределе частного). Если последовательности { y_n } и { х_n } имеют конечные пределы: lim y_n = , lim х_n = b, то и последовательность также имеет конечный предел, а именно

.

Доказательство. Из условий y_n ® a и x_n ® b имеем y_n = a + u_n и x_n = b + v_n, где последовательности { u_n } и { v_n } – бесконечно малые. Тогда

.

По свойствам бесконечно малых последовательность есть бесконечно малая. Тогда и последовательность также бесконечно малая, как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую. Таким образом, по второму определению предела следует, что или .

Дата добавления: 2015-07-20