Бесконечно малые последовательности и их свойства

Определение 1. Последовательность { y_n }, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a = 0, то неравенство (1.8) примет вид | y_n – 0| = | y_n| < e (для n > n_e).

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой последовательности можно сформулировать и без упоминания термина ²предел².

Определение 2. Последовательность { y_n } называется бесконечно малой, если ее значения y_n по абсолютной величине становятся и остаются меньшими сколь угодно наперед заданного числа e >0, начиная с некоторого номера n_e, зависящего от e: | y_n| < e, лишь только n > n_e.

В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две (или больше) последовательности, сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом знаки относятся к соответствующим значениям последовательностей. Говоря, например, о сумме двух последовательностей { x_n } и { y_n }, которые принимают соответствующие значения x ₁, x ₂, x ₃, ..., x_n, и y ₁, y ₂, y ₃, ..., y_n будем иметь в виду последовательность { x_n + y_n }, принимающую последовательность значений x ₁ + y ₁,…, x_n + y_n, …

Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых последовательностей есть также последовательность бесконечно малая.

Доказательство теоремы опускаем.

Теорема 2. Последовательность { x_n × m_n }, представляющая собой произведение ограниченной последовательности { x_n } на бесконечно малую последовательность { m_n }, есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Пусть для всех значений n | x_n| < b,где b > 0. Если задано произвольное число > 0, то по числу для бесконечно малой { m_n } найдется такой номер n_e, что для n > n_e будет | m_n | < . Тогда для тех же значений n очевидно, | x_n × m_n | = | x_n | × | m_n | < b = . Отсюда и следует, что последовательность { x_n × m_n } есть бесконечно малая.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на последовательность, имеющую конечный предел, есть последовательность бесконечно малая.

Действительно, так как последовательность имеет конечный предел, то она ограничена и тем самым выполнены условия теоремы.

Теорема 3. Для того чтобы последовательность { y_n } имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая бесконечно малая последовательность { x_n }, что

y_n = a + x_n. (1.9)

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность { y_n } имеет предел . Это означает, что для любого > 0 существует такое n_e, что " n > n_e выполняется неравенство | y_n - a | < e.

Обозначим y_n – a = x_n. Тогда " n > n_e | x_n| < e, т.е. lim x_n = 0. Следовательно, последовательность { x_n } бесконечно малая. Таким образом, lim y_n = , где { x_n } - бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть последовательность { y_n } представлена в виде (1.9), где lim x_n = 0. Это означает, что $ n_e, что " n > n_e выполняется неравенство | x_n| < e. Из равенства (1.9) x_n = y_n – a. Тогда " n > n_e справедливо неравенство | y_n - | < e, откуда по определению lim y_n = a. Таким образом, y_n = a + x_n lim y_n = a.

Теперь окончательно заключаем: lim y_n = a y_n = a + x_n.

Условие (1.9) можно прочитать так: любой член сходящейся последовательности равен сумме предела последовательности и соответствующего члена бесконечно малой последовательности.

Замечание. Если для бесконечно малой последовательности { x_n } использовать второе из приведенных выше определений без упоминания термина "предел", то теорема 3 позволяет дать для понятия "предел" другое определение (равносильное старому).

Определение 3. Постоянное число a называется пределом последовательности { y_n }, если существует такая бесконечно малая последовательность { x_n }, что y_n = a + x_n.

Примеры. 1. Рассмотрим последовательности, общие члены которых заданы формулами: , где k – любое положительное число, т.е. .

Все три последовательности представляют собой бесконечно малые, т.е. имеют пределом нуль. Действительно, для них , лишь только . Таким образом, в качестве n_e можно взять, например, наибольшее целое число, содержащееся в ,т.е. E .

Отметим, что значения первой последовательности все время больше своего предела 0, второй - все время меньше его, третьей же – попеременно становятся то больше, то меньше его.

2. Важный пример бесконечно малой дает последовательность { y_n } = { qⁿ }, где | q | < 1. Для доказательства того, что y_n ® 0, рассмотрим неравенство | y_n| = |q | ⁿ < e; оно равносильно таким: n lg| q | < lg e или .

Знак неравенства изменен на обратный, так как lg| q | < 0. Таким образом, если положить (считая e < 1) n_e , то упомянутое неравенство выполняется и, следовательно, y_n ® 0.

Замечание. Тот факт, что последовательность { y_n } - бесконечно малая, не означает (еcли она не нуль), что в отдельности взятое значение y_n этой последовательности может квалифицироваться как «малое» число. Например, бесконечно малая последовательность { y_n } с общим членом при п = 1 имеет значение y ₁ = 100, которое, естественно, не может рассматриваться как «малое» число, близкое к точке «ноль» на числовой оси.

Дата добавления: 2015-07-20