Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывность и разрывы монотонной функции

Распространение теории пределов | Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений | Сравнение бесконечно малых | Наоборот, бесконечно малые | Классификация бесконечно больших | УПРАЖНЕНИЯ | Определение непрерывности функции в точке | Функции, непрерывные в промежутке | Равномерная непрерывность | Например, рассмотрим функцию |


Читайте также:
  1. I. Перепишите следующие предложения и переведите их на русский язык, обращая внимание на функции инфинитива.
  2. I. Понятие об эмоциях, их структура и функции. Механизмы психологической защиты
  3. III. Исследование функции почек по регуляции кислотно-основного состояния
  4. III. Функции Бюро контрольных работ
  5. III. Функции действующих лиц
  6. III. Функции Родительского комитета
  7. III. Цели, задачи и функции торговых предприятий

Рассмотрим функцию f (x), которая, – при изменении х в промежутке Р – монотонно возрастает (убывает) хотя бы в широком смысле (гл.1, §4, п.4.4). По отношению к таким функциям имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Монотонно убывающая (возрастающая) функция f (x) может иметь в Р разве лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.

Возьмем любую точку х 0 промежутка Р, и пусть она не является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту часть промежутка, которая лежит влево от х 0, применим к ней теорему 12 из §6, п.6.3 о пределе монотонной функции: поскольку для х < х 0, очевидно, f (x) ≤ f (x 0), то существует конечный предел .

Если он совпадает со значением f (x 0), то слева в точке х 0 функция непрерывна; в противном случае – налицо скачок.

Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке х 0 промежутка Р (не служащей правым его концом) справа тоже либо имеет место непрерывность, либо скачок.

С помощью доказанной теоремы легко установить критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 2. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке Р функции f (x) содержатся в промежутке Е и сплошь заполняют его (так что каждое значение у из Е принимается функцией хоть раз), то эта функция непрерывна в Р.

Допустим, что в какой-нибудь точке х 0 из Р функция f (x) имеет разрыв, например, слева; как мы видели, этот разрыв может быть только скачком. В этом случае существует предел f (x 0 0), но он меньше значения f (x 0). Так как для будет а для очевидно, то функция не может принимать значений у, лежащих между числами и f (x 0), принадлежащих промежутку Е. Это противоречит условию теоремы; значит, функция разрывов не имеет.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Арифметические операции над непрерывными функциями| Непрерывность сложной функции

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)