Читайте также:
|
|
Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х 0, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (x)· g (x), , последняя при условии, что g (x) ¹ 0.
Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы (гл.1, §6, п.6.3).
Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х 0 равносильно наличию равенств
.
Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:
,
а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х 0.
Следствия. 1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.
2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и | f (x)|.
В качестве иллюстрации приложения данной теоремы рассмотрим непрерывность целой и дробной рациональных функций. Функция f (x) = х, очевидно, непрерывна на всем промежутке (-¥,+¥): если хп ® х 0, то f (xп) = хп ® х 0 = f (x 0). Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.
Отсюда, на основании вышеприведенной теоремы, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения как произведения непрерывных функций, а затем и полинома (целой рациональной функции) как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке (-∞,+∞).
Очевидно, наконец, что и частное двух полиномов (дробно-рациональная функция):
также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Таких точек непременно конечное число, поскольку число корней целой рациональной функции не более наивысшего показателя степени многочлена, стоящего в знаменателе. Причем, это точки разрыва второго рода.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 521 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Например, рассмотрим функцию | | | Непрерывность и разрывы монотонной функции |