Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Арифметические операции над непрерывными функциями

Определение и геометрическое истолкование предела функции | Распространение теории пределов | Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений | Сравнение бесконечно малых | Наоборот, бесконечно малые | Классификация бесконечно больших | УПРАЖНЕНИЯ | Определение непрерывности функции в точке | Функции, непрерывные в промежутке | Равномерная непрерывность |


Читайте также:
  1. Анализ проведения и нейтрализации информационно-психологической операции в ходе региональной избирательной кампании
  2. Анализ проведения и нейтрализации информационно-психологической операции в ходе региональной избирательной кампании.
  3. Арифметические действия
  4. Арифметические операции над последовательностями, имеющими предел
  5. Арифметические операции с отрицательными числами
  6. Арифметические основы микропроцессорной техники

Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х 0, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (xg (x), , последняя при условии, что g (x) ¹ 0.

Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы (гл.1, §6, п.6.3).

Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х 0 равносильно наличию равенств

.

Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:

,

а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х 0.

Следствия. 1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и | f (x)|.

В качестве иллюстрации приложения данной теоремы рассмотрим непрерывность целой и дробной рациональных функций. Функция f (x) = х, очевидно, непрерывна на всем промежутке (-¥,+¥): если хп ® х 0, то f (xп) = хп ® х 0 = f (x 0). Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.

Отсюда, на основании вышеприведенной теоремы, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения как произведения непрерывных функций, а затем и полинома (целой рациональной функции) как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке (-∞,+∞).

Очевидно, наконец, что и частное двух полиномов (дробно-рациональная функция):

также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Таких точек непременно конечное число, поскольку число корней целой рациональной функции не более наивысшего показателя степени многочлена, стоящего в знаменателе. Причем, это точки разрыва второго рода.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 521 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Например, рассмотрим функцию| Непрерывность и разрывы монотонной функции

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)