Читайте также:
|
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Основные понятия
Системой счисления (СС) называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить взаимное однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.
В позиционных системах счисления (ПСС) «вес» цифры определяется ее местоположением (позицией) в записи числа. Произвольное число N в позиционной системе с основанием q в общем виде можно записать в виде полинома
X q = = anqn + an-1qn-1 +... + a0q0 + a-1 q-1 +... + a-mq-m, (1)
где ai - разрядный коэффициент (a i = 0... q -1); qi - весовой коэффициент.
Число q называется основанием системы счисления. Следует отметить, что число q может быть как целым, так и дробным. Если в выражении (1) отбросить весовые коэффициенты qi и соответствующие знаки сложения, то получим сокращенную запись числа, носящую название q - ичного кода числа N. Номер позиции цифры ai называют его разрядом. Разряды с положительными степенями q образуют целую часть числа N, а с отрицательными - дробную. Цифры an и a - m соответственно являются старшим и младшим разрядами числа.
Например, в десятичной СС число 1 520 869 представляет сокращенную запись. Полная форма записи имеет вид (в этом нетрудно убедиться если записать слова, произносимые при чтении числа и опускаемые при его записи)
1× 106 + (5×102 + 2×101+ 0×100) ×103 + 8×102 + 6×101 + 9×100 =
1× 106 + 5×105 + 2×104 + 0×103 + 8×102 + 6×101 + 9×100.
В цифровой технике широкое распространение получила позиционная двоичная система счисления с основанием q = 2. В двоичной системе для записи чисел используют две цифры: 0 и 1. Например, если разложить число 12 в десятичной системе разложить по степеням числа 2. то получим:
12 = 1×23 + 1×22 + 0×21 + 0×20.
Сокращенная запись имеет вид 1100.
Очевидно, что число единиц, содержащихся в данном разряде не должно быть больше или равно q. Если это произошло, то должна происходить передача единицы в соседний старший разряд. При сложении такую передачу информации называют переносами, а при вычитании - заемами. Передача переноса или заема происходит последовательно от разряда к разряду.
Длина числа (ДЧ) - количество позиций (или разрядов) в записи числа. В техническом аспекте ДЧ интерпретируется как длина разрядной сетки (ДРС). Для разных позиционных систем счисления характерна разная ДРС, необходимая для записи одного и того же числа. Например, 9610 = 1408 = 101203 = 11000002. Общее правило такое: чем меньше основание ПСС, тем больше ДЧ. Если ДРС задана, то это ограничивает максимальное (или минимальное) по абсолютному значению число, которое может быть задано.
Пусть ДРС равна некоторому положительному числу n. Тогда
Nqmax = qn -1 Nqmin = -(qn -1).
Диапазон представления чисел (ДП) в заданной системе счисления - интервал числовой оси, заключенный между Nqmax и Nqmin, представленными ДРС
Nqmin £ ДП £ Nqmax
Правильный выбор ПСС - важный практический вопрос, поскольку от его решения зависят такие технические характеристики, проектируемой ЭВМ или как скорость вычисления, объем памяти, сложность алгоритмов вычисления арифметических операций.
При выборе ПСС необходимо учитывать следующее:
1. Основание СС определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для изображения разрядов числа.
2. Длина числа существенно зависит от основания СС.
3. СС должна обеспечивать простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.
Десятичная система, столь привычная нам в повседневной жизни, не является наилучшей с точки зрения ее реализации в ЭВМ. Известные в настоящее время многоустойчивые элементы имеют низкую скорость переключения, а, следовательно, не могут обеспечить высокого быстродействия машины.
Подавляющее большинство элементов электронных схем, применяемых в ЭВМ - двухпозиционные. С этой точки зрения, для ЭВМ наиболее подходит двоичная СС. Однако, возникает вопрос: рационально ли использование двоичной СС с точки зрения затрат оборудования. В теории информации показано, что по этому критерию гораздо экономичней использовать троичную СС (точнее ПСС с основанием е» 2,71.... Она является наиболее оптимальной из всех ПСС с точки зрения затрат оборудования - приблизительно на 10% меньше, чем у двоичной и на 55% по сравнению с десятичной.
В 70-е годы в СССР была разработана ЭВМ «Сетунь», в которой была использована троичная СС. Однако, развитие вычислительной техники пошло по пути использования двоичной СС.
Дата добавления: 2015-07-21; просмотров: 126 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Синтез комбинационных цепей | | | Перевод чисел из одной системы счисления в другую |