Сравнение б. м. и б. б. функций.

Пусть a (х), b (х) – б. м. при , т.е. и .

1. Если , то a (х) и b (х) называются б. м. одного порядка.

2.

Если = 1, то a (х) и b (х) называются эквивалентными бесконечно малыми. Записываем это так: a (х) b (х).

3. Если =0, то a (х) называется б.м. более высокого порядка, чем б.м. b (х) (еще говорят, что a (х) имеет более высокий порядок малости, чем b (х), при х ® х ₀) записываем это так: a (х)= (b (х)). Символ читается "0 малое".

4. Если = А (¹0; ¥), то a (х) называется бесконечно малой порядка n относительно b (х).

Аналогичные определения имеют место и для б.б. функций. В частности, если А (х) и В (х) – б.б. при х ® х ₀, т.е. ¥ и ¥, то они называются эквивалентными б.б. при х ® х ₀, если 1. Пишем А (х) В (х)

Так если Р_п (х) = а₀х^п + а₁х^п-1 +... + а_п-1х + а_п – многочлен степени п, то

Р_п (х) = а₀х^п (1+ +... + ) а₀х^п.

Важнейшие эквивалентности, используемые при вычислении пределов:

1. sin x x, 3. e^x – 1 x;

2. ln (1 + x) x, 4. (1 +x)^a - 1 a x, a >0.

Это запись первого, третьего, четвертого и пятого замечательного предела на языке эквивалентных б. м.

Рассмотрим применение эквивалентных б. м. и б. б. к вычислению пределов.

Теорема 16.5. Пусть a₁(х), a₂(х), b₁(х), b₂(х) – б. м. функции при и a₁(х) a₂(х), b₁(х) b₂(х). Тогда справедливо равенство (16.3)

Доказательство. a₁(х) a₂(х) _Þ =1, b₁(х) b₂(х) _Þ =1.

Тогда .

=1

=1

Для эквивалентных б. б. функций справедлива формула, аналогичная формуле (16.3).

Это означает, что при вычислении пределов частного и произведения функций одну б. м. (б. б.) можно заменить на другую б. м. (б. б.), эквивалентную первой.

Пример 16.11.

Пояснение. Так как e^x -1 x, то x².

Далее: (1+ х) ^a -1 a х Þ -1 ,

sin x x Þ sin²x x² Þ -1 .

Затем применили теорему 16.5.

Дата добавления: 2015-07-20