Понятие обратной функции.

Функция y=f (x) с областью определения D (f) и множеством значений E (f) называется взаимно однозначной, если выполняется условие: x ₁, x ₂ Î D (f)

f (x ₁)= f (x ₂) => x ₁= x ₂, другими словами, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции: х ₁¹ х ₂ => f (x ₁) ¹ f (x ₂).

Пример 15.2. Функция y = x² не является взаимно однозначной, а функция y = x³ взаимно однозначна (см. рис. 15.10)

Геометрически: функция y=f (x) взаимно однозначна, если любая горизонтальная прямая y=c=const пересекает график функции не более чем в одной точке. Так, любая прямая y=c, сÎR пересекает график функции y = x³ только в одной точке и она взаимно однозначна.

Заметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. рис. 15.11):

Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений E(f) взаимно однозначна. Тогда для каждого значения функции yÎ E(f) существует единственное значение аргумента хÎ D(f) такое, что f(x)= у.

Это означает, что на множестве E(f) определена функция, ставящая в соответствие каждому yÎ E(f) то единственное число хÎ D(f), для которого y=f(x).

Так определенная функция называется обратной к функции y=f(x) и обозначается x = j(y) = f -1(у). Область определения обратной функции D(j) = E(f), а множество значений E(j) = D(f), т.е. область определения и множество значений функции f и j меняются местами.

Из определения обратной функции вытекает, что обратной к функции j = f - 1 является функция f, поэтому функции f и j называются взаимно обратными. Из определения взаимно обратных функций вытекает, что

j[ f(x) ] = x " xÎD(f) = E(j),

f[ j(y) ] = y " yÎ E(f) = D(j).

Графики прямой y = f (x) и обратной к ней функции x = j(y) изображаются одной и той же кривой, т.е. их графики совпадают. Действительно,

Г_f = { (x,y): x Î D (f) и y = f(x) Î E(f) } =

= { (x,y): x = j(y) Î E(j) и yÎ D(j) } =

= { (x,y): yÎ D(j) и x = j(y) Î E(j) } = Г_f.

Пусть функция y = f(x) имеет обратную функцию x = j(y). В записи обратной функции независимую переменную обозначим, как обычно, через х, а зависимую переменную через у, то
обратная к y = f(x) функция запишется в виде у = j(х). Перемена местами x и y геометрически означает симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой у = х. Поэтому графики взаимно обратных функций y = f(x) и у = j(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.12).

Отметим, что монотонные функции взаимно однозначны, поэтому имеют обратные, которые имеют тот же характер монотонности, что и прямые функции: если функция f возрастает (убывает), то и обратная к ней функция j = f - 1 возрастает (убывает). Это непосредственно вытекает из определения взаимно обратных функций.

Дата добавления: 2015-07-20