Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если α_n =0, т.е. если ε >0 n ₀ n>n ₀ | α_n |< ε.

Последовательность { A_n } называется бесконечно большой (б.б.), если A_n, т.е. если А> 0 n ₀ n>n ₀ | A_n | >A.

Фактически мы дали сейчас определение бесконечного предела последовательности. Аналогично можно дать определение бесконечного предела определенного знака:

.

Пример 14.8. Как показывает пример 14.3, последовательность x_n = , n Î N, – б. м., т.к. = 0.

Последовательность β_п = n, n Î N, – б.б., это вытекает непосредственно из принципа Архимеда: β_n =+¥.

Свойства б.м. б.б. последовательностей:

1. Сумма двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью, т.е. если { α_n }- б.м., { β_n }- б.м., то их сумма { α_n + β_n } – б.м. последовательность.

Доказательство. α _n – б.м., т.е. ε >0 n ₁ n > n ₁ | α_n |< ; β_n – б.м., т.е. ε >0 n ₂ n > n ₂ | β_n |< . Положим n ₀=max { n ₁, n ₂}, тогда для всех n > n ₀ выполняется оба неравенства одновременно, поэтому

| α_n + β_n |≤| α_n |+| β_n |< + = ε.

Итак, ε >0 n ₀ n > n ₀ | α_n + β_n |< ε, т.е. (α_n + β_n)=0, а последовательность { α_n + β_n } является б.м.

Из этого свойства ясно, что сумма конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

2. Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность является б.м., т.е. если { α_n } – б.м., { x_n } – ограниченная последовательности, то { α_n • x_n }– б.м. последовательность.

Доказательство. Последовательность { x_n } ограничена, это означает, что существует число М> 0 такое, что | x_n |≤ M n Î N. Выберем произвольное число ε >0 и положим ε ₁= . Так как α_n – б.м. последовательность, то для ε ₁ n ₀ n > n ₀ | α_n |< ε ₁. Тогда

| α_n • x_n |=| α_n |•| x_n |< ε ₁• M= • M = ε.

Таким образом, ε >0 n ₀ n > n ₀ | α_nx_n |< ε. т.е. последовательность { α_nx_n }– б.м.

Следствия. 1) Если{ α_n }– б.м. последовательность, с =const (постоянная), то { cα_n } – б.м. последовательность (произведение б.м. последовательности на константу является б.м. последовательностью).

2) { α_n }, { β_n }– б.м. последовательности, тогда { α_nβ_n }– б.м. последовательность (произведение двух или конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью).

3. Связь б.м. и б.б. последовательностей: обратная к б.м. последовательности является б.б. последовательность и наоборот, т.е.

{ α_n }- б.м. и α_n ≠0 n => - б.б.,

{ β_n }- б.б. и β_n ≠0 n => - б.м.

Доказательство. Пусть α_n – б.м. и β_n = , и пусть М >0. Так как последовательность α_n – б.м., то для числа ε= >0 n ₀ n > n ₀ | α_n |< ε = , или

| β_n | = > = M,

но это и означает, что β_n = , т.е. является б.б.

Теорема 14.2. Последовательность { x_n } имеет своим пределом число а: x_n = а, тогда и только тогда, когда x_n = а + α_n, где { α_n } – б.м. последовательность, т.е.

x_n = а ó (x_n= a + α_n, где α_n – б.м.).

Доказательство. Необходимость. Если x_n = a, то ε >0 n ₀ n > n ₀ | x_n - a | < ε. Положим α_n = x_n - a, тогда x_n= a + α_n и α_n – б. м.. Действительно, последнее неравенство означает, что ε >0 n ₀ n > n ₀ < ε, т.е. α_n – б. м.

Обратно (достаточность). Пусть последовательность { x_n } такова, что существует такое число a, что x_n можно представить в виде x_n= a + α_n, где { α_n } – б.м. Так как { α_n } – б. м., то ε >0 n ₀ n > n ₀ , но это и означает, что x_n = a.

Дата добавления: 2015-07-20