Читайте также:
|
|
Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n:
А= . (12.1)
Число λ называется собственным числом матрицы А, если найдется ненулевой n- мерный вектор Rn, ≠ , такой, что
|
Вектор называется собственным вектором, отвечающим собственному числу λ.
Нахождение собственных чисел и собственных векторов
Перепишем равенство (12.2) в виде
(А - λ Е) = , (12.3)
где Е=n - единичная матрица порядка n. Равенство (12.3) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида
(12.4)
Матрица этой системы получается из матрицы А вычитанием числа λ по главной диагонали:
А- λ Е = (12.5)
Число λ будет собственным числом матрицы А тогда и только тогда, когда система (12.3) или (12.4) имеет нетривиальное (ненулевое) решение. А это возможно тогда и только тогда, когда матрица А- λ Е (см. (12.5)) однородной системы (12.3) (или (12.4)) вырождена, т.е. определитель этой системы равен нулю: det (A- λ E) = 0.
Поэтому собственные числа матрицы А - это корни характеристического уравнения
|
или в координатной форме
(12.7)
Если λ - собственное число матрицы А, то для нахождения соответствующих собственных векторов нужно подставить λ в систему (12.4) и найти ненулевые решения этой однородной системы, расширенная матрица которой имеет вид
= 0. (12.8)
12.2. Квадратичные формы в Rn.
Квадратная матрица А порядка n называется симметричной, если А/ = А, т.е. аij=aji (это означает симметрию относительно главной диагонали):
А =
Квадратичной формой в Rn называется функция вида R
Q ()= Q (х 1, …, хn) = / А , (12.9)
где Rn, а матрица А называется матрицей квадратичной формы. Запишем определение (12.9) в координатной форме. Так как
= , /=(х 1 х 2 … хn), то
Q ()=(х 1 х 2 … хn) = + (12.10)
Пример 12.1. Рассмотрим квадратичную форму в R 2(n =2), А = , = ,
/=(х 1 х 2).
Тогда Q ()= Q (х 1, х 2)= (х 1 х 2) =(х 1 х 2) =
= а 11 х + а 12 х 1 х 2+ а 12 х 1 х 2+ а 22 х = а 11 х +2 а 12 х 1 х 2 + а 22 х .
Окончательно:
Q ()= Q (х 1, х 2)= а 11 х +2 а 12 х 1 х 2 + а 22 х . (12.11)
Пример 12.2. n =3. Тогда
А = , = R 3, /=(х 1 х 2 х 3) и Q ()= Q (х 1, х 2, х 3)=
=(х 1 х 2 х 3) = а 11 х + а 22 х + а 33 х +2 а 12 х 1 х 2+2 а 13 х 1 х 3+2 а 23 х 2 х 3 (12.12)
Квадратичная форма Q () называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора Rn, ≠ , выполняется условие: Q ()>0, и отрицательно определяемой, если Q ()<0.
Теорема 12.1. (Критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы).
1) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы положительны.
2) Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы отрицательны.
Рассмотрим матрицу А квадратичной формы Q ()= / А :
А=
Выделены миноры
∆1= а 11, ∆2= , …, ∆ r , …, ∆ n =∆= (12.13)
называются главными минорами матрицы А. Тогда справедлива
Теорема12.2. (Критерий Сильвестра)
1) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны: ∆ i >0, i =1, …, n.
2) Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют знак, начиная со знака минус: ∆1<0,∆2>0,∆3<0, …
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 77 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Структура решения неоднородной системы. | | | Логическая символика. |