Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Парабола. | Матрицы | Сложение матриц. | Умножение матриц. | Квадратные матрицы. Обратная матрица. | Ранг матрицы. | Система линейных алгебраических уравнений. | Методы решения невырожденных СЛАУ. | Метод Гаусса решения СЛАУ. | Структура решения однородной системы. |


Читайте также:
  1. IPS-матрицы.
  2. MVA- матрицы.
  3. Say these numbers in English. (Назовите числа по-английски.)
  4. V. Порядок проведения государственной итоговой аттестации для выпускников из числа лиц с ограниченными возможностями здоровья
  5. А) показателем 3-го лица единственного числа глагола в Present Indefinite;
  6. А) показателем 3-го лица единственного числа глагола в Present Indefinite;
  7. А) показателем 3-го лица единственного числа глагола в Present Indefinite;

 

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n:

А= . (12.1)

Число λ называется собственным числом матрицы А, если найдется ненулевой n- мерный вектор Rn, , такой, что

А
(12.2)

Вектор называется собственным вектором, отвечающим собственному числу λ.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов

Перепишем равенство (12.2) в виде

(А - λ Е) = , (12.3)

где Е=n - единичная матрица порядка n. Равенство (12.3) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида

(12.4)

Матрица этой системы получается из матрицы А вычитанием числа λ по главной диагонали:

А- λ Е = (12.5)

Число λ будет собственным числом матрицы А тогда и только тогда, когда система (12.3) или (12.4) имеет нетривиальное (ненулевое) решение. А это возможно тогда и только тогда, когда матрица А- λ Е (см. (12.5)) однородной системы (12.3) (или (12.4)) вырождена, т.е. определитель этой системы равен нулю: det (A- λ E) = 0.

Поэтому собственные числа матрицы А - это корни характеристического уравнения

det (A- λ E)=0,
(12.6)

или в координатной форме

(12.7)

 


Если λ - собственное число матрицы А, то для нахождения соответствующих собственных векторов нужно подставить λ в систему (12.4) и найти ненулевые решения этой однородной системы, расширенная матрица которой имеет вид

= 0. (12.8)

 

12.2. Квадратичные формы в Rn.

 

Квадратная матрица А порядка n называется симметричной, если А/ = А, т.е. аij=aji (это означает симметрию относительно главной диагонали):

А =

Квадратичной формой в Rn называется функция вида R

Q ()= Q (х 1, …, хn) = / А , (12.9)

где Rn, а матрица А называется матрицей квадратичной формы. Запишем определение (12.9) в координатной форме. Так как

= , /=(х 1 х 2 … хn), то

Q ()=(х 1 х 2 … хn) = + (12.10)

Пример 12.1. Рассмотрим квадратичную форму в R 2(n =2), А = , = ,

/=(х 1 х 2).

Тогда Q ()= Q (х 1, х 2)= (х 1 х 2) =(х 1 х 2) =

= а 11 х + а 12 х 1 х 2+ а 12 х 1 х 2+ а 22 х = а 11 х +2 а 12 х 1 х 2 + а 22 х .

Окончательно:

Q ()= Q (х 1, х 2)= а 11 х +2 а 12 х 1 х 2 + а 22 х . (12.11)

Пример 12.2. n =3. Тогда

А = , = R 3, /=(х 1 х 2 х 3) и Q ()= Q (х 1, х 2, х 3)=

=(х 1 х 2 х 3) = а 11 х + а 22 х + а 33 х +2 а 12 х 1 х 2+2 а 13 х 1 х 3+2 а 23 х 2 х 3 (12.12)

Квадратичная форма Q () называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора Rn, , выполняется условие: Q ()>0, и отрицательно определяемой, если Q ()<0.

Теорема 12.1. (Критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы).

1) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы положительны.

2) Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы квадратичной формы отрицательны.

Рассмотрим матрицу А квадратичной формы Q ()= / А :

А=

Выделены миноры

1= а 11, 2= , …, ∆ r , …, ∆ n =∆= (12.13)

называются главными минорами матрицы А. Тогда справедлива

Теорема12.2. (Критерий Сильвестра)

1) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны: ∆ i >0, i =1, …, n.

2) Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры чередуют знак, начиная со знака минус: ∆1<0,∆2>0,∆3<0, …


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 77 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Структура решения неоднородной системы.| Логическая символика.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)