Система линейных алгебраических уравнений.

Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

(11.1)

содержащая m уравнений с n неизвестными х ₁, х₂, …х_n. Числа a_ij, i= 1,…, m, j =1, …,n называется коэффициентами системы, где i - номер уравнения, j -номер неизвестной, а числа b ₁,…, b_m - свободными членами.

Решение системы (11.1) называется упорядоченный набор чисел (n - мерный арифметический вектор) (х ₁º, х₂ º, …х_n º), обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

СЛАУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: b ₁= b ₂=…= b_m =0, и неоднородной в противном случае, т.е. если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля.

Матрицей системы (11.1) называется матрица А, образованная коэффициентами при неизвестных:

А = ,

где j -тый столбец образован коэффициентами при неизвестной x_j, j =1,…, n.

Расширенной матрицей системы называется матрица

= . (11.3)

Зная расширенную матрицу системы, мы легко можем восстановить саму систему (11.1).

Матричная форма записи СЛАУ.

Обозначим через = вектор- столбец неизвестных, = - вектор- столбец свободных членов. Тогда систему (11.1) можно записать в матричной форме:

А = . (11.4)

Поясним на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему

(11.5)

А= , = , = , тогда А = , или = , = и, приравнивая соответствующие координаты, получим исходную систему (11.5).

Дата добавления: 2015-07-20