Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Множество Х Ì R называется ограниченным сверху, если найдется такое число с Î R, что х≤с х Î Х, а число с - верхней границей множества Х.

Множество Х Ì R называется ограниченным снизу, если найдется такое число с Î R, что с ≤ х х Î Х, а число с - нижней границей множества Х.

Дадим определения верхней и нижней границ на языке логических символов:

(Х ограничено сверху) ó ( c Î R х Î Х x ≤ c);

(Х ограничено снизу) ó ( c Î R х Î Х c ≤ x).

На языке логических символов и кванторов легко дать отрицание какого-либо утверждения или определения. Например,

(Х неограниченно сверху) ó ( c Î R х Î Х x > c),

т.е. квантор всеобщности заменяется на квантор существования и наоборот. Этот пример показывает, что множество натуральных чисел N неограниченно сверху (см. принцип Архимеда).

Множество Х Ì R называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т.е. существуют числа m, M Î R такие, что х Î Х m ≤ x ≤ M. Это определение равносильно следующему:

(Х ограничено) ó ( A >0 х Î Х | x |≤ A).

Наименьшим элементом множества Х Ì R называется такой его элемент а Î Х, что х Î Х а ≤ х, обозначаем: а=min X.

Наибольшим элементом множества Х Ì R называется такой его элемент а Î Х, что х Î Х х ≤ а, обозначаем: а=max X.

Верхней гранью (точной верхней границей) множества Х Ì R называется наименьшая из всех верхних границ этого множества, обозначается М = sup X= min { a Î R: х Î Х x ≤ a }.

Нижней гранью (точной нижней границей) множества Х Ì R называется наибольшая из всех нижних границ этого множества, обозначается m = inf X= max { a Î R: х Î Х a ≤ x }.

Теорема 13.1. (О существовании верхней (нижней) границ).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство основано на аксиоме полноты действительных чисел. Пусть непустое множество Х ограничено сверху: a Î R: х Î Х x ≤ a. Обозначим через Y непустое множество верхних границ множества Х, тогда х ≤ у х Î Х и у Î Y. По аксиоме полноты найдется число с Î R такое, что х Î Х и у Î Y

х≤с≤у.

Это неравенство означает, с одной стороны, что с - верхняя грань множества Х, т.е. с Î Y, а с другой стороны, что с - наименьший элемент множества Y, т.е. что с=sup X.

Дата добавления: 2015-07-20