Определение предела последовательности.

Переходим к центральному понятию данного параграфа.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ε существует такое натуральное число n ₀Î N, что для всех номеров n > n ₀ выполняется неравенство

| x_n - a |< ε.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Обозначение: x_n = a или .

В логической символике определение предела последовательности выглядит так:

( x_n = a) ó ( ε >0 n ₀Î N n > n ₀ | x_n - a |< ε)

Геометрическое истолкование предела числовой последовательности. Неравенство (14.2.) равносильно двойному неравенству – ε < x_n - a < ε или a - ε < x_n < a + ε, которые означают, что все члены последовательности x_n, начиная с некоторого номера, находятся в ε –окрестности U(a, ε)= =(a- ε, a + ε) точки а (см. рис. 14.1), а вне этой окрестности находится, разве лишь, конечное число членов этой последовательности.

Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любой ε –окрестности U(a, ε) точки а существует номер n ₀Î N такой, что для всех номеров n > n ₀ все члены последовательности x_n попадут в эту окрестность:

x_n Î U(a, ε).

Заметим, что чем меньше ε, тем больше номер n ₀, но в любом случае в ε –окрестность точки а попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера (n > n ₀), а вне этой окрестности находится не более конечного числа членов. Рассмотрим ε ₂< ε ₁.

Пусть x_n = а, тогда (см. рис. 14.2.)

для ε ₁>0 n ₁ n > n ₁ x_n ÎU (a ₁, ε ₁),

для ε ₂>0 n ₂, в.ч. n ₂> n ₁, n > n ₂ x_n ÎU (a ₁, ε ₂),

x ₁, x ₂, …, x_{n 1}, x_{n 1+1}, …, x_{n 2}, x_{n 2+1}, …, x_n, …

Рассмотрим примеры.

Пример 14.3. Рассмотрим последовательность { x_n } с общим членом x_n = : 1, , ,…, ,...

Покажем, что x_n = = 0. По определению, число а = 0 будет пределом последовательности x_n = , если ε >0 n ₀Î N такое, что n > n ₀ выполняется неравенство | -0|< ε, т.е. < ε. Это неравенство справедливо для всех n > , т.е. для всех n > n ₀ = , где - целая часть числа . Итак, для ε >0 найден соответствующий номер n ₀, т.е. по определению =0.

Пример 14.4. x_n = , | q |>1. покажем что =0.

Действительно < ε ó < ε ó | q | ⁿ > ó n > log_{| q |} ,

т.е. ε >0 n ₀= n > n ₀ выполняется указанная цепочка неравенств, доказывающая утверждение.

Аналогично, если x_n = qⁿ, | q |<1, то qⁿ =0.

Пример 14.5. Рассмотрим постоянную последовательность { x_n } с общим членом x_n = c, n Î N, где с = const – постоянная. Покажем, что эта последовательность сходится и x_n = c (предел константы равен самой константе).

Действительно, ε >0 n | x_n-c |=| c-c |=0< ε, что и требовалось доказать.

Пример 14.6. Покажем, что последовательность { x_n } с общим членом x_n =(-1) ⁿ расходится. Для этого воспользуемся вторым, геометрическим определением предела последовательности. Если а ≠ ±1, то число а не является пределом нашей последовательности, т.к. существует такая окрестность числа а, в которой нет ни одного члена рассматриваемой последовательности (см. рис 14.3а)

Если а = 1, то в указанную окрестность точки 1 (ε =1), не попадут все члены последовательности с нечетными номерами x _{2 n +1}=(-1)^{2 n +1} = -1 (см. рис. 14.3б). Аналогично показывается, что число а = -1 не является пределом рассматриваемой последовательности, т.е. последовательность x_n =(-1) ⁿ предела не имеет и расходится.

Пример 14.7. Покажем, что =2, и найдем номер n ₀ для ε =0,1; ε =0,01 ε =0,001.

Покажем, что ε >0 n ₀ n > n ₀ < ε.

Решая последнее неравенство, получим

< ε ó < ε ó n +1 > ó n > -1.

Положив n ₀= , получим, что это неравенство выполняется для всех n > n ₀. Ответ на второй вопрос дает нижеприведенная таблица:

ε	0,1	0,01	0,001
n 0

Если ε= 0,1, то неравенство выполняется при ; если ε= 0,01, то это неравенство выполняется при и т.д.

Из определения предела последовательности вытекают следующие свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 14.1. 1) Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. 1) Рассмотрим сходящуюся последовательность , имеющую два различных предела a и b, a b. Пусть, например, a < b. Покажем, что такое предположение ведет к противоречию. Действительно, ,

.

Выберем ε= (см. рис. 14.4), положим n₀₌ .

Тогда для выбранного ε и всех n>n₀ выполняются одновременно оба неравенства:

a-ε < x_n < a+ε и b-ε < x_n <b+ε,

т.е. x_n < a+ε < b-ε < x_n, что невозможно. Это противоречие исчезает, если a = b.

2) Пусть сходится и x_n=a. Покажем, что последовательность ограничена. Воспользуемся опять определением предела последовательности: для ε =1 n₀ n>n₀ . Отсюда n>n₀ .

Пусть А= . Тогда ≤А nÎN, что и означает ограниченность последовательности.

Теорема доказана полностью.

В заключение этого пункта отметим, что из ограниченности последовательности не вытекает ее сходимость. Действительно, последовательность x_n = (-1)ⁿ ограничена, ≤1, но,, как показано в примере 14.5, она расходится.

Дата добавления: 2015-07-20