Определение предела функции в точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Определение 1: Предела функции (по Гейне) Число называется пределом функции в точке (при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , , сходящийся к , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А: .

Обозначение: или .

Определение 2 Предела функции (по Коши). Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого числа существует число такое, что для всех допустимых значений аргумента , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

На языке кванторов это определение предела функции «на языке » можно записать так:

.

Заметив, что выражает расстояние между числами и , можно сказать, что геометрически означает, что для всех , достаточно близких к , соответствующие значения функции близки к числу А.

Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны (примем без доказательства).

Рассмотрим примеры.

Пример 16.1. Постоянная функция имеет предел в каждой точке , равный С. Действительно, для любой последовательности , сходящейся к числу , , соответствующая последовательность значений функций является постоянной, , и сходится к числу С, , т.е. . Последнее равенство показывает, что предел постоянной функции в точке равен значению функции в этой точке.

Пример 16.2. Функция имеет в любой точке предел, равный . Действительно, если последовательность значений функций имеет вид , что и доказывает утверждение. Заметим, что для функции выполняется условие: .

Пример 16.3. Функция с областью определения не имеет предела в точке . Действительно, последовательность , , такова, что и , а последовательность , , такова, что и . Итак, мы построили две сходящиеся к нулю последовательности значений аргумента такие, что соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. Но это означает, что функция в точке предела не имеет.

Пример 16.4. Функция , имеет в точке предел, равный нулю: .

Действительно, покажем, что

.

Так как , то для из неравенства вытекает неравенство

.

И это доказывает утверждение.

Введем понятие предела функции, когда аргумент стремиться к бесконечности: , , .

Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначение:

Итак,

.

Аналогично определим предел при :

,

.

Дата добавления: 2015-07-20