Координаты вектора в данном базисе.

Теорема 1. (О базисе на плоскости). Любые два нулевых неколлинеарных вектора и на плоскости образуют базис, т. е. любой третий вектор плоскости может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов и :

(3.1)

Доказательство: Приложим все три вектора , , к одному началу 0. Построим параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых, проходящих через векторы и , а вектор является диагональю этого параллелограмма (см. рис. 3.10):

Тогда , где ₁|| , поэтому ₁=α , а ₁|| , поэтому ₁=β . Следовательно = α + β .

Из приведенного доказательства ясно, что числа α и β определяются единственным образом.

Определение. Числа α и β в разложении (3.1) вектора называются координатами вектора в базисе и .

Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными.

Теорема 2. (О базисе в пространстве). Любые три нулевых вектора , , образуют базис в пространстве; т.е. любой четвертый вектор пространства может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов , , :

=α +β +γ (3.2)

Доказательство: Приложим векторы , , и к одному началу 0. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов , , (см. рис. 3.11).

В возникшем параллелепипеде вектор является диагональю, поэтому = ₁+ ₁+ ₁=α +β +γ .

Из построений ясно, что числа α, β, γ, называемые координатами вектор в базисе из векторов , , , определяются единственным образом.

Заметим, что равенство (3.2) называется разложением вектора по базису из векторов , , .

Равенство векторов в координатной форме: векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в данном базисе.

Дата добавления: 2015-07-20