Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

|| ó .

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число:

= { а_х b_х, а_y b_y, а_z b_z },

λ = { λ а_х, λ а_у, λ а_z }.

Вектор = , соединяющий начало координат с произвольной точкой М (x, y, z)пространства называется радиус-вектором точки М. Координаты точки – это координаты ее радиус-вектора = { x, y, z } или = x ∙ + y ∙ + z ∙ .

Если вектор = задан точками А (x ₁, y ₁, z ₁) и В (x ₂, y ₂, z ₂), то его координаты а_х, а_у, а_z вычисляются по формулам

а_х = x ₂ – x ₁, a_y = y ₂ – y ₁, a_х = z ₂ – z ₁:

= = { x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁, z ₂ – z ₁}.

Пример 4. Даны точки А (3; –4; 1) и В (4; 6; –3). Найти координаты вектора = .

• Из координат конечной точки вычитаем координаты начальной точки. Имеем:

а_х = 4 – 3 = 1, a_y = 6 – (–4) = 10, а_z = –3 – 1 = –4. Т.о., = ={1; 10; –4}.

Пример 5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (1; –2; 3),

В (3; 2; 1), С (6; 4; 4). Найти координаты его четвертой вершины D.

• Обозначим координаты вершины D через х, у и z, т.е. D (х; у; z). Имеем: = . Находим координаты векторов и :

={6 – 3; 4 – 2; 4 – 1} = {3; 2; 3}, ={ x – 1; y + 2; z – 3}.

Из равенства векторов и следует: x – 1 = 3, y + 2 = 2, z – 3 = 3. Отсюда:

x = 4, y = 0, z = 6. Т.о., D (4; 0; 6).

Пример 6. Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в

противоположную сторону к вектору = 5 – 4 + 2 , и его модуль равен 5.

• Можно записать, что = 5 . Т.к. вектор направлен в противоположную сторону к вектору , то = – . Найдем орт . Из равенства = | | × находим = . Но | | = = 7. Значит, = – + . Следовательно, = – + – и = 5 = – + – .

Пример 7. Вектор составляет с осями Ох и Оу углы α = 60° и β = 120°. Найти

его координаты, если | | = 2.

• Пусть х, у, z – координаты вектора , т.е. = { x; y; z }. Координаты вектора найдем из соотношений cos α = , cos β = , cos γ = . Предварительно найдем cos γ из соотношения cos² α + cos² β + cos² γ = 1: cos² γ = 1 – cos² α – cos² β =

= 1 – – = => cos γ = ± . Условию задачи удовлетворяют два вектора: с направляющими косинусами cos α = , cos β = – , cos γ = и с направляющими косинусами cos α = , cos β = – , cos γ = – .

Т.к. направляющие косинусы – это координаты орта вектора , то

= | | × = {2 × ; 2 × ; 2 × } = {1; –1; },

= | | × = {2 × ; 2 × ; 2 × } = {1; –1; – }

Пример 8. При каких значениях α и β векторы = –2 + 3 + α и

= β – 6 + 2 коллинеарны?

• Т.к. || , то их координаты должны быть пропорциональными, т.е. должны выполняться равенства = = . Отсюда находим, что α = –1, β = 4.

Пример 9. Разложить вектор = {9; 4} по векторам = {1; 2} и = {2; –3}.

• Требуется представить вектор в виде линейной комбинации векторов. и , т.е. в виде = λ + m , где λ и m – числа. Используя определение равенства векторов, получим {9; 4} = λ {1; 2} + m {2; –3} или . Решая данную систему уравнений относительно λ и m, получим λ = 5, m = 2. Следовательно, = 5 + 2 .

Пример 10. Дана сила = {4; 4; –4 }. Найти величину и направление .

• Величина силы: | | = = 8.

Направляющие косинусы вектора :

cos α = = = , cos β = = = , cos γ = = = .

Т.о., сила = 8 действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы α = 60°, β = 60°, γ = 135°.

---

Дата добавления: 2015-07-25