Если векторы и заданы своими координатами

= { а_х, а_у, а_z }, = { b_х, b_у, b_z }, то ( , ) = а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z.

Пример 11. Векторы и образуют угол φ = π. Зная, что | | = 10 и | | = 2,

вычислить ( + 2 , 3 – ).

• Согласно свойствам скалярного произведения

( + 2 , 3 – ) = 3 (, ) – (, ) + 6 (, ) – 2 (, ) = 3 ² + 5 (, ) – 2 ² =

= 3 | |² + 5 | | × | | × cos φ – 2 | |² = 3 × 100 + 5 × 10 × 2 × – 2 × 4 = 300 – 50 – 8 = 242.

Пример 12. Дано: | | = 2, | | = 1, φ = ( ^Ù ) = . Найти модуль вектора

= 2 – 3 .

• Скалярный квадрат вектора : | |² = ² = (, ) = (2 – 3 , 2 – 3 ) =

= 4 (, ) – 6 (, ) – 6 (, ) + 9 (, ) = 4 ² – 12 (, ) + 9 ² =

= 4 | |² – 12 | | × | | × cos φ + 9 | |² = 4 × 4 – 12 × 2 × 1 × + 9 × 1 = = 16 – 12 + 9 = 13.

Модуль вектора : | | = .

Пример 13. Найти вектор , зная, что ^ , = {1; 0; 1}, ^ , = {0; 2; –1},

проекция вектора на вектор = {1; 2; 2} равна 1.

• Пусть вектор имеет координаты = { x; y; z }.

1) ^ => (, ) = 0 => x + z = 0;

2) ^ => (, ) = 0 => 2 y – z = 0;

3) pr_c = 1 => = 1 => || | | = = 3|| => x + 2 y + 2 z = 3.

Получили систему уравнений .

Решаем ее и находим: x = – , y = , z = . Т.о., = – + + .

Пример 14. Даны вершины треугольника А (2; 3; –1), В (4; 1; –2), С (1; 0; 2). Найти:

а) внутренний угол при вершине С;

б) .

• а) Угол φ при вершине С есть угол между векторами и . Координаты этих векторов:

= {4 – 1; 1 – 0; –2 – 2} = {3; 1; –4}, = {2 – 1; 3 – 0; –1 – 2} ={1; 3; –3}.

Модули этих векторов: | | = = , | | = = .

cos φ = = = = > φ = arccos .

б) = = .

Пример 15. Единичные векторы , , удовлетворяют условию + + = .

Найти (, ) + (, ) + ( × ).

• Последовательно умножим скалярно равенство + + = на , , :

(, ) + (, ) + ( × ) = 0,

(, ) + (, ) + ( × ) = 0,

(, ) + (, ) + ( × ) = 0,

Сложим все три равенства. С учетом того, что (, ) = (, ) = ( × ) = 1, получим 2((, ) + (, ) + ( × )) = –3. Следовательно,

(, ) + (, ) + ( × ) = –1,5.

---

Дата добавления: 2015-07-25