Обозначение:λ ∙ .

Каждый вектор равен произведению его модуля на его орт:

= | | ∙ .

Признак коллинеарности векторов: два ненулевых вектора

и коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число: = λ .

Признак компланарности векторов: три ненулевых вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е. = λ ₁ + λ ₂ (λ ₁ и λ ₂ – одновременно не равные нулю числа).

Пример 1. В треугольнике АВС дано: = , = .

Точка М – середина стороны ВС. Выразить вектор

через векторы и .

• Через точку М проведем прямые, параллельные сторонам

АВ и АС. Получим параллелограмм АВ ₁ МС ₁ (см. рис.).

Следовательно, = + . Т.к. В ₁ М иС ₁ М – средние

линии, то АВ ₁ = В ₁ В, АС ₁ = С ₁ С и т.о., = + = ( + ).

Пример 2. В параллелограмме АВСD дано: = , = .

Выразить диагонали (векторы) и через и .

• См. рис.

= + , = – .

Пример 3. Даны векторы и . Коллинеарны ли векторы = – 2 и

= – + 6 ?

• = – – выполняется условие коллинеарности векторов => векторы и коллинеарны.

Проекцией вектора на ось l называется

число, равное длине вектора , взятой со

знаком «плюс», если направление вектора

совпадает с направлением оси и со знаком Рис.2.

«минус» в противном случае. Точки и –

проекции точек А и В на ось l (рис.2).

Обозначение: или .

Основные свойства проекции:

1. ( + ) = + ;

2. (λ ) = λ ∙ ;

Если , , – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами а_х, а_у, а_z:

= а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ .

Коэффициенты а_х, а_у и а_z линейной комбинации называются координатами вектора в базисе , , .

Обозначение: = { а_х, а_у, а_z } или = а_х ∙ + а_y ∙ + а_z ∙ .

Координаты вектора в базисе , , , = { а_х, а_у, а_z }, совпадают с координатами точки М – конца вектора = в прямоугольной системе координат Oxyz: М (а_х, а_у, а_z).

Длина вектора определяется по формуле | | = .

Вектор образует с координатными осями Ox, Oy и Oz углы α, β и γ соответственно.

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов: cos α, cos β, cos γ, вычисляемых по формулам:

cos α = , cos β = , cos γ = .

Направляющие косинусы связаны соотношением

cos² α + cos² β + cos² γ = 1.

Координаты орта вектора – это его направляющие косинусы: = .

Пусть векторы и заданы своими координатами:

= { а_х, а_у, а_z } и = { b_х, b_у, b_z }.

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. = ó .

Дата добавления: 2015-07-25