Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на

вектор называется вектор , (рис.4) который

1) перпендикулярен векторам и , т.е.

и (перпендикулярен плоскости, в

которой лежат вектора и ); Рис.4.

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма,

построенного на векторах и как на сторонах, т.е. | | = | | ∙ | | ∙ sin φ, где φ = ;

3) векторы , и образуют правую тройку. Три

некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (соотв. по часовой стрелке).

Обозначение: [ , ] или х .

Векторное произведение можно выразить формулой [ , ] = S ∙ , где - орт направления [ , ].

Свойства векторного произведения:

1. [ , ] = – [ , ].

2. [ , ( + )] = [ , ] + [ , ].

3. [ λ , ] = [ , λ ] = λ [ , ].

4. Векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда sin φ = 0 (φ = 0) (перемножаемые векторы коллинеарны):

[ , ] = ó || (или = , или = ).

В частности: [ , ] = [ , ] = [ , ] = .

Если векторы и заданы своими координатами

= { а_х, а_у, а_z }, = { b_х, b_у, b_z }, то

[ , ] = или

[ , ] = .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

S = | [ , ]|.

Площадь треугольника, построенного на векторах и :

S _Δ = | [ , ] |.

Момент силы относительно точки: пусть в точке А приложена сила = . Момент силы относительно точки О (рис.5) – это вектор = [ , ].

Линейная скорость вращения: скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера: = [ , ],

где – радиус-вектор точки М (рис.6).

Рис.5. Рис.6.

Пример 16. Векторы и образуют угол φ = π. Зная, что | | = 2 и | | = 6,

вычислить: а) | [ , ] |, б) | [2 + 3 , – 4 ] |.

• a) | [ , ] | = | | × | | × sin φ = 2 × 6 × = 6 ×

б) [2 + 3 , – 4 ] = 2 [ , ] – 8[ , ] + 3 [ , ] – 12 [ , ] = || [ , ] = [ , ] = || = 3 ² + 5 (, ) – 2 ² = – 8[ , ] – 3[ , ] = – 11[ , ].

Следовательно, | [2 + 3 , – 4 ] | = | –11[ , ] | = 11 × | [ , ] | = || см. а) || = 11 × 6 = 66.

Пример 17. Найти площадь треугольника с вершинами А (1; 2; 0), В (3; 2; 1),

С (–2, 1; 2).

• Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.S = | [ , ] |. . Координаты этих векторов: = {3 – 1; 2 – 2; 1 – 0} = {2; 0; 1}, = {–2 – 1; 1 – 2; 2 – 0} ={–3; –1; 2}. Тогда [ , ] = = – 7 – 2 =>

=> | [ , ] |= = 3 => S = .

Пример 18. Сила = {2; –4; 5} приложена к точке А (0; 2; 1). Определить момент этой силы относительно точки О (–1; 2; 3).

• Момент силы относительно точки О есть вектор =[ , ]. Координаты вектора : = {–1; 0; 2} =>

=> =[ , ] = = 8 + 9 + 4 => = {8; 9; 4}.

---

Дата добавления: 2015-07-25