Базис. Координаты. Размерность.

Рассмотрим одно из основных понятий линейной алгебры – понятие базиса линейного пространства.

Упорядоченная система векторов е ₁, …, е_n называется базисом линейного пространства L, если выполняются условия:

1) эта система векторов линейно независима,

2) каждый вектор х Î L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Итак, если система векторов е= { е ₁, …, е_n } базис в L, то каждый вектор х Î L разлагается в линейную комбинацию базисных векторов, т.е. существуют числа a ₁, …, a_n Î R такие, что

x=a ₁ х ₁+ a ₂ х ₂+ …+ a_nx_n. (6.2)

Числа a ₁, a ₂, …, a_n в разложении (6.2) вектора х по базису е= { е ₁, …, е_n } называется координатами вектора х в базисе е: х =(a ₁, a ₂, …, a_n)_e.

Теорема 6.3. Пусть е= { е ₁, …, е_n }- базис линейного пространства L, х,у Î L и
x=a ₁ е ₁+…+ a_nе_n =(a ₁,…, a_n)_e, у=b ₁ е ₁+…+ b_nе_n =(b ₁,…, b_n)_e. Тогда справедливы утверждения:

1) координаты вектора определяются единственным образом,

2) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

х+у= (a ₁+ b ₁) е ₁+…+(a_n + b_n) е_n =(a ₁+ b ₁,…, a_n+b_n)_e,

3) при умножении вектора х на число l каждая координата х умножается на число l:

x= (la ₁ е ₁)+…+(la_nе_n)=(l a ₁,…, la_n)_e.

Доказательство. 1. Допустим, что это не верно, т.е. существуют два разложения вектора х по базису е:

x=a ₁ е ₁+…+ a_nе_n и х=b ₁ е ₁+…+ b_nе_n.

Вычитая эти равенства, на основании аксиом 1, 2 и 8 получим

θ=х - х=a ₁ е ₁+…+ a_nе_n - b ₁ е ₁-…- b_nе_n. = (a ₁- b ₁) е ₁+…+(a_n - b_n) е_n.

Так как система векторов е ₁, …, е_n линейно независима то a ₁- b ₁=0, …, a_n - b_n =0, т.е. a ₁= b ₁, …, a_n = b_n.

Итак, координаты вектора в данном базисе определяются однозначно и, тем самым, полностью характеризуют вектор в этом базисе.

Свойства 2 и 3 представляют собой действия над векторами в координатной форме и вытекают непосредственно из аксиом линейного пространства (предлагается проверить самостоятельно).

Размерность линейного пространства. Линейное пространство L называется n -мерным или пространством размерности n, если в нем существует базис из n векторов.

Покажем, что определение размерности корректно, т.е. что все базисы линейного пространства имеют одно и то же число векторов, равное размерности пространства.

Теорема 6.4. Пусть L – n -мерное линейное пространство. Тогда справедливы утверждения:

1) любые n +1 векторов этого пространства линейно зависимы;

2) любые n линейно независимых векторов из L образуют его базис.

Доказательство: 1) L – n -мерное линейное пространство, т.е. в нем существует базис из n векторов е= { е ₁, …, е_n }. Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует в L линейно независимая система из (n +1)-го вектора х ₁, …, x_{n+ 1}.

Рассмотрим систему векторов х₁, е₁, …, е_n, которая линейно зависима, т.к. е= { е ₁, …, е_n } – базис пространства, поэтому х₁ есть линейная комбинация векторов е₁, …, е_n:

x=a ₁ е ₁+ a ₂ е ₂+…+ a_nе_n, (6.3)

и, так как х₁ ¹ θ, один из коэффициентов a ₁,…, a_n отличен от нуля. Пусть, например, α ₁¹0, тогда

е ₁= – х ₁ – е ₂ –…– е_n. (6.4)

Система векторов х₁, е₂, …, е_n линейно независима. Если бы она была линейно зависима, то вектор х₁ разлагался по векторам е₂, …, е_n, которые линейно независимы. Это противоречит единственности разделения по базису (6.3), где α ₁¹0.

Покажем, что каждый вектор х Î L является линейный комбинацией векторов х₁, е₂, …, е_n. Действительно, каждый вектор х Î L является линейной комбинаций векторов базиса е₁, …, е_n:

х=b ₁ е ₁+ b ₂ е ₂+…+ b_nе_n.

Заменяя в последнем равенстве вектор е ₁ по формуле (6.4) мы получим вектор х как линейную комбинацию векторов х₁, е₂, …, е_n. Итак, векторы х₁, е₂, …, е_n образуют базис в L.

Продолжая эту процедуру, мы векторы е₁, …, е_n исходного базиса заменим последовательно на векторы х ₁, …, x_n, получая на каждом шаге базис пространства L. После n шагов мы получим базис, состоящий из векторов х ₁, …, x_n. Тогда вектор х_{n +1} должен быть линейной комбинацией векторов х ₁, …, x_n, что противоречит линейной независимости векторов х ₁, …, x_n, x_{n +1}. Это противоречие доказывает первое утверждение теоремы.

Второе утверждение теоремы сразу вытекает из первого.

Доказательство теоремы закончено.

Базисом системы векторов х ₁, …, x_m называется такая ее часть , …, , к £ m и 1£ i ₁< i ₂<…< i_k £ m, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) , …, - линейно независимая система векторов,

2) каждый вектор системы х ₁, …, х_m называется линейной комбинацией векторов
, …, .

Рангом системы векторов х ₁, …, x_m называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы и обозначается r (x ₁, …, x_m).

Все базисы данной системы векторов имеют одинаковое число векторов, равное рангу этой системы.

Пример 6.1. Рассмотрим множество геометрических векторов в пространстве, определенных в п. 3.1., с линейными операциями сложения векторов и умножения вектора на число, определенных в пункте 3.2. Как показывают свойства этих операций, множество геометрических векторов в пространстве является векторным пространством над полем R действительных чисел. Обозначим его V₃.

Линейная зависимость двух векторов из V₃ равносильна их коллинеарности. Линейная зависимость трех векторов равносильна их компланарности.

Базис пространства V₃ образуют любые три ненулевых некомпланарных вектора. Поэтому это пространство трехмерно.

6.4. Пространство арифметических векторов Rⁿ.

Арифметическим n -мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел а ₁, а ₂, …, а_n, который записывается в виде

=(а ₁, а ₂, …, а_n).

числа а ₁, а ₂, …, а_n называются компонентами вектора .

Два n -мерных вектора =(а ₁,…, а_n) и =(b ₁,…, b_n) называются равными, = , если равны их соответствующие компоненты: а ₁= b ₁,…, а_n = b_n.

Нулевой вектор – это вектор, все компоненты которого равны нулю: = (0, 0, …, 0).

Вектор - =(- а ₁, - а ₂, …, - а_n) называется противоположным вектору =(а ₁, а ₂, …, а_n).

Суммой двух n -мерных векторов =(а ₁,…, а_n) и =(b ₁,…, b_n) называется n -мерный вектор

+ =(а ₁+ b ₁, а ₂+ b ₂,…, а_n + b_n), (6.5)

т.е. при сложении двух n -мерных векторов их соответствующие компоненты складываются.

Произведением n -мерного вектора =(а ₁, а ₂, …, а_n) на действительное число l называется n -мерный вектор

l =(l а ₁, l а ₂, …, l а_n), (6.6)

т.е. при умножении вектора на число каждая компонента вектора умножается на это число. В частности,

- =(-1) .

Так определенные операции над арифметическими n -мерными векторами удовлетворяют всем аксиомам линейного (векторного) пространства. Итак, множество всех арифметических n -мерных векторов с введенными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует векторное пространство над полем R действительных чисел, обозначают его Rⁿ и называют пространством арифметических векторов.

Рассмотрим в Rⁿ систему векторов , , …, вида:

(6.7)

Покажем, что эта система векторов образует базис пространства Rⁿ, называемый стандартным базисом в Rⁿ. Для этого покажем, что эта система векторов линейно независима и каждый вектор из Rⁿ является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть числа α₁, α₂, …, α _n таковы, что α₁ + α₂ + +α _n = . Учитывая правила сложения векторов и умножения вектора на число в Rⁿ, получим

(a ₁, a ₂, …, a_n) =(0, 0, …, 0),

т.е. a ₁=0, a ₂=0, …, a_n =0. Это означает, что векторы , , …, линейно независимы. Далее

=(а ₁, а ₂, …, а_n) = (а ₁, 0, …, 0) + (0, а ₂, …, 0) + (0, 0, …, а_n)=

= a₁ (1, 0, …, 0) + a₂ (0, 1, …, 0) + a_n (0, 0, …, 1)= a₁ + a₂ +…+ a_n ,

т.е. каждый вектор Î Rⁿ есть линейная комбинация векторов системы , , …, .

Теперь ясно, что компоненты a₁, a₂,,a_n вектора ā = (a₁, a₂, …, a_n)Î Rⁿ есть не что иное, как координаты вектора ā в стандартном базисе. Пространство Rⁿ является n -мерным векторным пространством.

Пример 6.2. Рассмотрим линейное пространство геометрических векторов V ₃, определенное в параграфе 3 (см. п. 3.1, 3.2) и ортонормированный базис из векторов , , (см. п.3.5 б). Тогда каждый вектор ā Î V ₃ единственным образом разлагается по базису , , :

ā=х + у + z = { х, у, z },

где числа х, у, z - координаты вектора ā в данном базисе. Упорядоченная тройка чисел { х, у, z } однозначно характеризует вектор ā. Сложению векторов и умножению вектора на число соответствуют аналогичные действия над их координатами (см. п. 3.6).

Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между векторами пространства V ₃ и упорядоченными тройками их координат (в базисе , , ), сохраняющее линейные операции сложения векторов и умножения вектора на число. Но упорядоченная тройка чисел есть не что иное, как трехмерный арифметический вектор из R ³:

ā=х + у + z ={ х, у, z } ó (х, у, z) Î R ³

Заметим, что ортонормированному базису , , в V ₃ соответствует стандартный базис , , в R ³:

=1• + 0• + 0• ={1, 0, 0} ó =(1, 0, 0),

=0• + 1• + 0• ={0, 1, 0} ó =(0, 1, 0),

=0• + 0• + 1• ={0, 0, 1} ó =(0, 0, 1).

Тогда пространство геометрических векторов V ₃ можно рассматривать как конкретную реализацию векторного пространства арифметических векторов R ³.

Пример 6.3. Пусть векторы , , …, образуют базис пространства Rⁿ, в частности, они линейно независимы, т.е. равенство

α₁ + α₂ +, …, + α _n = (6.7)

выполняется тогда и только тогда, когда α₁=0, α₂=0, …, α _n =0.

Пусть векторы , , …, заданы своими координатами:

=(а ₁₁, а ₂₁, …, а_{n 1}),

=(а ₁₂, а ₂₂, …, а_{n 2}),

……………………..

=(а _{1 n}, а _{2 n}, …, а_nn).

Перепишем равенство (6.7) в координатной форме:

(6.8)

Эта система n линейных уравнений с n неизвестными, однородная: она совместна и имеет решение α₁=0, α₂=0, …, α _n =0. Если определитель этой системы

(6.9)

отличен от нуля, ∆≠0, то решение системы (6.8) единственно.

Итак, векторы , , …, образуют базис Rⁿ тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Если этот определитель равен нулю, ∆=0, то система векторов линейно зависима и один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Скалярным произведением двух векторов =(а ₁, а ₂,…, а_n) и =(b ₁, b ₂,…, b_n) из Rⁿ называется число

(, ) = а ₁ b ₁ + а ₂ b ₂+… + а_nb_n. (6.10)

Основные свойства скалярного произведения:

1. (, )=(, ).

2. (a , )= (, a )= a (, ).

3. ( + , )=(, )+(, ).

4. (, )³0, (, )=0 ó =0

Эти свойства вытекают непосредственно из определения скалярного произведения по формуле (6.10).

Модулем ( длиной ) вектора =(а ₁, а ₂,…, а_n) Î Rⁿ называется число

| |= = . (6.11)

Угол между ненулевыми векторами и из Rⁿ называется угол j= (), 0£j£p такой, что

cos j= . (6.12)

Векторы и называются ортогональными, ^ , если()=j= , т.е. если их скалярное произведение равно нулю:

Пространство векторов Rⁿ со скалярным произведением, заданным формулой (6.10), называется евклидовым пространством Rⁿ.

Базис пространства называется ортонормированным, если векторы, образующие базис, попарно ортогональны и имеют длину, равную единице, т.е. являются ортами:

, , …, – ортонормированный базис Rⁿ ó

Так стандартный базис в Rⁿ (см. 6.7) является ортонормированным базисом в Rⁿ.

Пример 6.4. Пространство V ₃ со скалярным произведением, определенным в п. 4.1., является трехмерным евклидовым пространством, а векторы , , (координатные орты) образуют ортонормированный базис V ₃.

Дата добавления: 2015-07-20