Определение линейного пространства.

Непустое множество L называется линейным или векторнымпространством над полем R действительных чисел, если

1) для каждых двух элементов х, у Î L определен элемент х+уÎL, называемый их суммой;

2) для каждого элемента х Î L и каждого числа a Î R определен элемент aх Î L, называемый произведением элемента х на число a.

При этом выполняются свойства (аксиомы):

1. х+у=у+х,

2. (х+у)+ z=x+ (y+z),

3. существует нулевой элемент θ такой, что для каждого x Î L

x+ θ =x,

4. для каждого х Î L существует элемент (- х)Î L, называемый противоположным элементу х, такой, что

х+ (- х)= θ,

5. 1 х = х,

6. a (bх)=(ab) х,

7. a (х+у)= aх+aу,

8. (a+b) х=aх+bх.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Теорема 6.1. В линейном пространстве существует единственный ноль (нулевой вектор).

2. Для каждого вектора линейного пространства существует единственный противоположный вектор.

3. Для всякого вектора х линейного пространства и числа a Î R

0 х= θ, - х= (-1) х, α θ = θ

Доказательство: 1. Пусть θ ₁ и θ ₂ – два нулевых вектора линейного пространства L, тогда для каждого вектора х Î L выполняются равенства х+ θ ₁ = х и х+ θ ₂ = х,

т.е. θ ₁= θ ₁+ θ ₂= θ ₂ и нулевой вектор единственен.

2. Пусть х ₁, х ₂ – векторы, противоположные вектору х: х+х ₁= θ, х+х ₂ = θ. Тогда на основании аксиом линейного пространства получим

х ₁ = х ₁+ θ = х ₁+(х+х ₂) = (х ₁+ х) + х ₂ = θ + х ₂ = х ₂,

т.е. противоположный вектор определяется однозначно.

3. Если х Î L, то 0 х+х= 0 х+ 1 х= (0+1) х= 1 х=х, т.е. 0 х+х=х. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор – х; находим

θ = х+ (- х)=(0 х+х)+(- х)=0 х+ (х+ (- х))=0 х+ θ =0 х.

Далее, х+ (-1) х= 1 х+ (-1) х =(1-1) х =0 х = θ, т.е. (-1) х является, по определению, противоположным к х и в силу его единственности - х =(-1) х.

Теорема 6.1. доказана.

Линейной комбинацией векторов х ₁, …, x_m Î L с коэффициентами a ₁, …, a_m Î R называется вектор вида

х=a ₁ х ₁+ a ₂ х ₂+ …+ a_mx_m.

Дата добавления: 2015-07-20