Линейная зависимость

Система векторов х ₁, …, х_m линейного пространства L называется линейно зависимой, если существуют числа a ₁, …, a_m, не все равные нулю, такие, что

a ₁ х ₁+ a ₂ х ₂+ …+ a_mx_m= θ, (6.1)

и линейно независимой в противном случае, т.е. из выполнения равенства (6.1) вытекает, что a ₁=…= a_m =0.

Теорема 6.2. Система векторов х ₁, …, x_m Î L линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов х ₁, …, x_m линейно зависима, т.е. существуют числа a ₁, …, a_m, не все равные нулю, такие, что a ₁ х ₁+ …+ a_mx_m= θ. Пусть, например, a_m ¹0. Тогда

х_m = х ₁ –…– х_{m -1},

но это и означает, что вектор х_m есть линейная комбинация векторов х ₁, …, x_{m -1}.

Достаточность. Пусть система векторов х ₁, …, x_m такова, что один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных. Пусть, например, х_m есть линейная комбинация остальных: х_m=a ₁ х ₁+ …+ a_{m- 1} x_{m- 1}, или

a ₁ х ₁+ …+ a_{m- 1} x_{m- 1}+(-1) х_m = θ.

Так как a_m = –1¹0, то последнее равенство и означает, что система векторов х ₁, …, x_m линейно зависима.

Дата добавления: 2015-07-20