Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.

a) Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Оху.

Выберем на координатных осях Ох и Оу единичные векторы (орты) и соответственно:
| | = | | = 1 и (см. рис. 3.17). Векторы и образуют базис плоскости. Такой базис называется ортонормированным.

Для каждого вектора плоскости , :

= х + у ={ х,у } (3.3)

Если начало вектора совместить сточкой О (см. рис. 3.17), то становится ясно, что координаты х и у вектора в базисе и есть не что иное, как проекции вектора на соответствующие оси координат:

х=ПР_х , у=ПР_у

Координаты х и у называются декартовыми координатами вектора . Ясно также, что

| |= ,

т.е. модуль (длина) вектора в ортонормированном базисе , равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Обозначим через α и β углы, образованные вектором с осями Ох и Оу соответственно (см. рис. 3.17), тогда

х=| | соs α, у= |а|соs β, или соs α= , соs β= .

Числа соs α и соs β называются направляющими косинусами вектора . Они обладают свойством:

.

б) Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуz. Выберем на координатных осях Ох, Оу и Оz координатные орты , , соответственно (см. рис. 3.18), при этом | | = | | = | | = 1 и эти векторы попарно ортогональны, т.е. образуют ортонормированный базис пространства. Аналогично плоскому случаю, для любого справедливо разложение

= х + у + z ={ х,у,z }, (3.4)

где х, у, z – координаты вектора в базисе из векторов , , , при этом

х=ПР_х , у=ПР_у , z =ПР_z ,
| |= .

Если α, β, γ – углы, образованные вектором с соответствующими осями координат, то

соs α = , соs β = , соs γ = .

Числа соs α, соs β, соs γ – направляющие косинусы вектора и

.

Дата добавления: 2015-07-20