Читайте также:
|
Признак параллельности прямой и плоскости. Следствия
Аксиома. Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.
Следствие. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Поэтому для взаимного расположения прямой и плоскости возможны три случая:
1) Прямая лежит в плоскости.
2) Прямая имеет с плоскостью только одну общую точку.
3) Прямая не имеет с плоскостью общих точек.
Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они называются параллельными.
Лемма. Прямые, параллельные данной плоскости и проходящие через данную точку, не лежащую в этой плоскости, содержатся в плоскости, параллельной данной, и заполняют её.
Доказательство. Пусть точка A не лежит в плоскости 
, а плоскость 
проходит через точку A и параллельно . Тогда все прямые, которые лежат в и проходят через A, не имеют общих точек с , то есть параллельны . Такие прямые заполняют всю плоскость . Других прямых, проходящих через A и параллельных , нет. Действительно, любая прямая, проходящая через А и пересекающая плоскость , пересекает и плоскость (по лемме о пересечении прямой с двумя параллельными плоскостями).
Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости p, но не содержится в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Доказательство. Проведем через AB и CD плоскость t и предположим, что прямая AB где-нибудь пересекается с плоскостью p. Тогда точка пересечения, находясь на прямой AB, должна принадлежать так же и плоскости t, на которой лежит прямая AB, в то же время точка пересечения должна принадлежать и плоскости p => точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости t и на плоскости p, должна лежать на прямой CD, по которой пересекаются эти плоскости => прямая AB пересекается с прямой CD. Но это невозможно, так как они параллельны по условию => нельзя допустить, чтобы прямая AB пересекалась с плоскостью p, и потому AB || p.
Следствия:
1) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой прямой.
2) Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.
3) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 149 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Взаимное расположения двух плоскостей в пространстве | | | Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости. |