Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана числовая ось u, т.е. прямая с выбранным на ней направлением и масштабом.

Проекция точки М на ось u – это основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из

точки М на ось. Для построения точки М₁ проведем через точку М плоскость перпендикулярно оси, тогда точка М₁ есть точка их пересечения (см. рис. 3.12).

Рассмотрим произвольный вектор = . Обозначим ₁= ₁ вектор, где А₁ и В₁ проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора (см. рис. 3.13).

Проекцией вектора на ось u называется число | ₁|, если вектор ₁ и ось u сонаправлены и число -| ₁|, ели вектор ₁ и ось u противоположно направлены.

Проекция вектора на ось u обозначается так: ПР _u . Иными словами:

ПР _u =

Обозначим через φ угол между вектором и осью u (см. рис. 3.14), ясно, что 0≤φ≤π. Тогда ПР _u = .

Заметим что ПР _u >0 ó 0≤φ<

и ПР _u <0, ó 0≤φ< .

Основные свойства проекций векторов на ось.

a) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось (см. рис. 3.15):

ПР _u ( + )= ПР _u + ПР _u

Из рис. 3.15 ясно, что ПР _u ( + )=| ₁|+| ₁|= ПР _u +
+ ПР _u

b) При уменьшении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на число λ:

ПР _u (λ )=λ ПР _u .

Действительно, если λ>0, то ПР _u (λ ) = |λ | = λ| | = λ ПР _u .

Если λ<0, то (см. рис. 3.16) ПР _u (λ )=|λ |• = -λ| |(- )=λ| | = λ ПР _u .

Из свойств 1 и 2 вытекает, что

ПР _u (α +β )=α ПР _u +β ПР _u ,

т.е. проекция линейной комбинации векторов равна соответствующей линейной комбинации их проекций.

Дата добавления: 2015-07-20