Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся операция сложения векторов и операция умножения вектора на действительное число.

Сложение векторов. Под суммой векторов и понимаем вектор + , идущий из начала вектора в конец вектора , если начало вектора приложено к концу вектора (см. рис. 3.4):

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Правило параллелограмма сложения векторов (см. рис. 3.5): начала векторов и совмещают, тогда сумма векторов и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

Эквивалентность этих определений ясна из рис. 3.4 и 3.5.

Свойства сложения векторов:

1. Коммутативность: + = +

2. Ассоциативность: ( + )+ = +( + )

3. Нулевой вектор: существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора
+ = + =

4.

Противоположный вектор: для любого вектора существует противоположный вектор - такой, что +(- )=(- )+ =

Доказательство: Свойство 1 вытекает непосредственно из определения сложения векторов по правилу параллелограмма (см. рис. 3.5). Свойство 2 вытекает из правила треугольников (см. рис. 3.6).

Разностью векторов и называется вектор – = +(- ). Другими словами, разность векторов и – это такой вектор = – , который, будучи прибавлен к вектору , даст вектор (см. рис. 3.7).

Умножение вектора на число. Произведением вектора на число λ называется вектор λ такой, что:

1. ;

2. , если λ>0;

, если λ<0;

Свойства умножения вектора на число:

1. 1• = ;

2. α (β )=(α β)

3. (α+β) =α +β

4.

Доказательство свойств 1, 2, 3 легко получить непосредственно из определения умножения вектора на число и сложения векторов (представляется читателю). Свойство 4 основано на подобии параллелограммов изображенных на рис. 3.9, где λ является коэффициентом подобия при λ>0.

Следствия определения и свойств линейных операций над векторами.

1. 0• = для любого вектора

2. - =(-1)•

3. Условия коллинеарности:

|| ó существует число α такое, что =α . Действительно, если =α , то || по определению умножения вектора на число.

Обратно. Если || , то возможны два случая:

1) , тогда =α , где ,

2) , тогда =α , где

4. Орт вектора: , • .

Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов ₁, ₂, …, _n с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_n называется вектор λ_{1 1}+λ_{2 2}+…+λ_{n n}.

Дата добавления: 2015-07-20