Отражение поля от проводящей поверхности

Пусть у нас есть заряженное шарообразное тело (заряд – q, диаметр - d_пр), расположенный в идеальном диэлектрике на расстоянии h над поверхностью полу бесконечной проводящей среды, которая находится под нулевым потенциалом

Рис.2.9

Физика процесса:

Наличие заряда q приводит к перераспределению свободных зарядов в проводящей среде. На поверхности полу бесконечной проводящей среды появляются заряды, знаки которых противоположны знаку q (явление электростатической индукции). При этом, распределение этих зарядов таково, что поле внутри проводящей среды оказывается равно нулю.

Математика:

Для определения распределения потенциала нам необходимо решить уравнение Пуассона, граничными условиями для которого является точечный заряд и равенство нулю потенциала на поверхности проводящей среды.

Согласно теореме о единственности решения уравнения Пуассона при одинаковой геометрии и граничных условий в рассматриваемых системах (принцип полного соответствия), распределение потенциала в верхней полуплоскости в случае заряда над проводящей средой и в случае двух точечных зарядов разного знака, расположенных на расстоянии (см. 2.4.2) будет одинаково. Т.е. поле в диэлектрике будет таким будто бы оно создаётся двумя зарядами разного знака, которые расположены в однородном диэлектрике. Т.о. влияние проводящей среды учитывается с помощью введения вспомогательного заряда, а сама среда – удаляется.

Замечания:

1. Часто подобное решение используется для определения силы, действующий на заряд, который находится над проводящей средой:

2. Все приведённые выше выводы справедливы и для заряженных нитей, только распределение потенциала необходимо рассчитывать с помощью формулы:

3. Изложенный выше подход к решению подобных задач часто используется в оптике. Отсюда – используемая терминология. В частности, вспомогательный заряд часто называют зарядом изображением.

5.2. Отражение поля от границы двух диэлектриков с разными диэлектрическими проницаемостями

Пусть у нас есть заряженное шарообразное тело (заряд – q, диаметр - d_пр), расположенное в идеальном диэлектрике диэлектрической проницаемостью (первая среда) на расстоянии h над поверхностью полу бесконечной диэлектрической среды с другой диэлектрической проницаемостью (вторая среда).

Физика процесса:

Наличие заряда q приводит к перераспределению связанных зарядов в диэлектрических средах. На поверхности раздела сред появляются связанные заряды.

Рис.2.10

Математика:

Для определения распределения потенциала нам необходимо решить уравнение Пуассона для двух диэлектрических сред. При этом известно, что на поверхности их раздела потенциалы и нормальные составляющие вектора электрического смещения одинаковы (граничные условия). Запишем решения в декартовой системе координат. Ось 0z – перпендикулярна плоскости раздела сред, а точки с координатами z=0 находятся на этой плоскости.

Для решения этой, на первый взгляд сложной задачи используем метод аналогичный тому, что применялся для расчёта отражения от проводящей поверхности. Будем считать, что поле в первой среде такое, как будто бы оно создаётся зарядом q и зарядом изображением , а вся среда – однородный диэлектрик с .

Выберем точку в верхней полуплоскости. Потенциал в этой, произвольно взятой точке будет равен:

Будем считать, что поле во второй среде такое, как будто бы оно создаётся зарядом изображением , расположенном на месте точечного заряда q, а вся среда – однородный диэлектрик с .

Выберем точку в нижней полуплоскости. Потенциал в этой, произвольно взятой точке будет равен:

На границе двух сред должно выполняться равенство потенциалов:

z=0 и U_B=U_H, которое, с помощью приведённых выше формул, можно записать в виде:

(2.7)

и равенство нормальных составляющих электростатического смещения, условие, которое удобно сразу переписать через напряжённости электрического поля и потенциалы в верхней и нижней среде:

Продифференцировав выражения для распределения потенциалов, получим:

или:

(2.8)

Решив, совместно (2.7) и (2.8), получим выражения для зарядов:

Замечания:

1. Часто подобное решение используется для определения силы, действующий на заряд, который находится над плоскостью:

2. Направление силы, действующей на точечный заряд, зависит от соотношения диэлектрических проницаемостей сред:

Ø , знаки зарядов и одинаковы, заряд будет отталкиваться от поверхности раздела

Ø , знаки зарядов и различны, заряд будет притягиваться к поверхности раздела

3. Все приведённые выше выводы справедливы и для заряженной нити. Только вместо заряда необходимо подставить удельную плотность заряда на единицу длины и соответствующим образом скорректировать формулу для определения потенциала.

Кстати:

Ø В случае в случае точечного заряда, расположенного в воздухе () над поверхностью воды () , т.е. сила действующая на этот заряд будет практически такой же, как в случае с расположением заряда над проводящей поверхностью.

Ø Правильность формул для зарядов просто проверить: в случае однородной среды : и .

Ø Если расстояние до плоскости раздела более чем в 5 раз больше радиуса проводника

§-6 Шар в однородном электрическом поле

Рис.2.11

Дано: в однородное электростатическое поле , созданное в среде с диэлектрической проницаемостью , помещается диэлектрический шар радиуса r₀ из материала с проницаемостью .

Найти: распределение поля внутри и вне шара.

Замечания:

1. Так как основным элементом, который искажает равномерное электрическое поле, является шар, задачу удобно решать в сферических координатах ()

2. Распределение потенциала однородного электрического поля нам известно: , в случае если точка отсчёта находится в начале координат

3. Появление шара с другой диэлектрической проницаемостью приводит к изменению распределения поля. Однако, это распределение как внутри сферы, так и снаружи нее подчиняется уравнению Лапласа, которое в сферической системе координат можно записать:

4. Поставленная задача – симметрична относительно направления напряжённости электрического поля, т.е. и уравнение Лапласа необходимо решать в виде:

Общий вид решения подобного уравнения имеет вид:

, где А_n, B_n, C_n – постоянные интегрирования для n среды. Индексом e – будем обозначать внешнюю среду, i – среда внутри шара.

Для решения задачи нам необходимо найти постоянные интегрирования.

1. Пусть центр шара совпадает с точкой отсчёта, т.е. при r=0, =0. Это возможно только, когда постоянные интегрирования

Таким образом внутри шара напряжение равно:

2. Постоянная С – определяется точкой отсчёта и, следовательно, одинакова для внешней и внутренней среды:

3. При поле шара не оказывает влияния на начальное, равномерное распределение напряжённости электрического поля, т.е. . С другой стороны . Эти две формулы совпадают с точностью до обозначений: . Т. о. для определения поля во внешней среде можно записать:

Для определения постоянных интегрирования А_i и B_e воспользуемся граничными условиями на поверхности шара. При r=r₀ или (2.9)

Другим условием на границе двух диэлектриков является условие равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

или

(2.10)

4. Решив, совместно алгебраические уравнения (2.9) и (2.10), получим

Т.о., для нахождения распределения потенциалов внутри и наружи шара получаем систему уравнений:

Поле вне шара состоит из двух составляющих. Первое слагаемое описывает внешнее равномерное электрическое поле, второе – поле, потенциал которого уменьшается пропорционально 1/r². Подобная зависимость характерна для поля диполя. Т.е. поле поляризованного шара таково как будто бы в центре него находится диполь с электрическим моментом , где k – коэффициент диполя

Рис.2.12

Силу, которая действует на шар со стороны электрического поля можно найти как минус градиент распределения энергии шара:

Энергия шара, вернее, энергия диполя, которым мы заменили шар:

, тогда силу можно найти из формулы:

Замечания:

1. Коэффициент k может быть как положительным, так и отрицательным. В случае, если , и сила направлена в сторону уменьшения напряжения поля. В случае, если , и сила направлена в сторону увеличения напряжения поля.

2. Распределение поля в случае металлического шара можно получить, устремив диэлектрическую проницаемость среды шара в бесконечность . В этом случае дипольный момент можно найти по формуле: , а потенциал и напряжённость поля внутри шара равны нулю. Линии внешнего электрического поля будут перпендикулярны поверхности шара, а максимальное значение этого поля . Т.е. любое проводящее включение в диэлектрической среде становится концентратором электрического поля и именно на этом включении происходит в первую очередь пробой диэлектрика.

3. В случае (например, воздушный пузырёк в воде) максимальная напряжённость поля внутри и на поверхности проводника: .

Кстати:

Ø Сила, действующая в диэлектрической среде со стороны неоднородного электрического поля на включения с другой диэлектрической проницаемостью, используется в электрофильтрах. В частности, подобный фильтр позволяет разделить воду () и бензин ().

Тема 3.

Электрическое поле постоянного тока

Определение.

Под действием постоянного во времени электрического поля в проводящих средах возникает упорядоченное движение зарядов – постоянный электрический ток или ток проводимости. Пространственное распределение электрического тока принято характеризовать его плотностью - .

Кстати:

Под это определение подходят как твёрдые и жидкие проводящие среды, так и плазма, в частности, плазма газового разряда.

Дата добавления: 2015-11-16