Определение скалярного потенциала.

Электростатическое поле в идеальном диэлектрике как раз и является типичным представителем таких полей. Для описания такого поля, удобно следующим образом ввести потенциальную функцию - потенциал электрического поля:

(2.5)

Замечания:

1. Минус в формуле появляется из-за того, что напряженность всегда направлена в сторону убывания потенциала.

2. Операция взятия градиента (grad) – представляет собой взятие суммы частных производных по координатным направлениям. В декартовой системе координат она имеет вид:

3. Потенциал определён как сумма частных производных. Этому определению удовлетворяет не только , но и (любая постоянная величина). Т.о. потенциал - функция многозначная. Одно и тоже электростатическое поле можно описать бесконечно большим количеством функций, которые будут отличаться на постоянную величину.

4. Для того чтобы сделать потенциал функцией однозначной в любой рассматриваемой нами области пространства мы должны выбрать точку, в которой положить потенциал равный конкретному значению. В частности, в выбранной точке можно положить потенциал равным нулю. Тогда эту точку называют точкой отсчета и обозначают буквой N.

5. Разность потенциалов ∆U - не зависит от пути между двумя точками, а зависит только от их расположения

6. С учётом выражения для разности потенциалов, выбрав точку отсчёта, потенциал в произвольной точке М можно определить по формуле:

§-3 Уравнения Пуассона и Лапласа для скалярного потенциала электрического поля.

Третье уравнения Максвелла можно переписать, используя выражение для потенциала (2.5), в следующем виде:

Для случая однородного диэлектрика ε=const, это выражение приобретает вид уравнения Пуассона:

(2.6)

Замечания:

1. Часто уравнение Пуассона переписывают, заменив операцию взятия divgrad, операторам Лапласа:

2. Если в рассматриваемой области отсутствуют свободные заряды то в уравнении Пуассона правая часть равна нулю: . Это выражение называют уравнением Лапласа. Математический смысл этого уравнения: сумма вторых частных производных от потенциала в каждой точка пространства, не содержащего заряды, равна нулю.

3. В декартовой системе координат уравнение Лапласа выглядит следующим образом:

4. Для того чтобы решить уравнения Пуассона и Лапласа необходимо выделить область пространства, где будет решаться эта задача и задать на границе этой области условия, которые обычно называют граничными. В качестве граничных условий могут использоваться как пространственное распределение потенциала, так и скорость изменения потенциала по одной из координат.

5. Если на рассматриваемую линейную изотропную среду действует только один источник (причем этим источником может быть как заряд, так и потенциал), то для системы с заданными граничными условиями справедлив принцип пропорциональности. Согласно этому принципу, если мы изменим действующий источник в к раз, то и реакция (напряжённость или потенциал электрического поля) изменится в к раз.

6. При решении уравнения Пуассона для линейной изотропной среды, на которую действует несколько источников поля, справедлив принцип суперпозиции, т.е. потенциал электрического поля, будет равен сумме потенциалов, найденных для каждого источника в отдельности.

7. В двух областях пространства распределение потенциала будет одинаковым, если одинаковыми будут геометрия этих областей, свойства, занимающих их сред, и граничные условия (принцип полного соответствия).

Кстати:

Ø С помощью уравнений Пуассона и Лапласа можно описать не только распределение потенциала электрического поля, но и, например, распределение температуры (Т). В этом случае, для среды с однородными параметрами уравнение Пуассона будет иметь вид: , где - пространственное распределение источников нагрева, - теплопроводность среды.

Ø Очень часто в осевой симметрии рассматривается только половина задачи, а на оси симметрии задают граничные условия. Это условие имеет вид: , и говорит о том, что через данную границу отсутствует потока вектора напряженности электрического поля.

Ø Аналитически получить решения уравнений Пуассона и Лапласа можно найти только для очень простой геометрии. В случае, когда нахождение аналитического решения осложняется данное уравнение можно решить численно. В частности, в одномерном случае для среды с изменяющимися свойствами, для расчёта распределения потенциала можно использовать следующую конечноразностную схему: , где - шаг по пространственной координате, k=1…N – номер точки, в которой проводится расчёт потенциала, - значение потенциала, диэлектрической проницаемости, плотности заряда в k –ой точке.

Ø В большинстве случаев при расчёте параметров электрического поля в диэлектрической среде используется уравнения Пуассона или Лапласа.

§-4 Типичные примеры расчёта потенциалов электростатического поля.

Рассмотрим несколько случаев, для которых распределения потенциала можно найти в достаточно простых аналитических выражениях.

Дата добавления: 2015-11-16