Потенциал точечного заряда.

Под точечным зарядом мы будем понимать заряженное тело, размеры которого пренебрежимо малы, по сравнению с расстояниями до других зарядов в рассматриваемой системе. Такой подход позволяет нам не «связываться» с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Для нахождения этого потенциала удобно использовать сферическую систему координат с центром, совпадающим с расположением заряда. В этом случае, в силу сферической симметрии задачи, распределение потенциала в диэлектрической среде будет зависеть только от расстояния от начала координат. И, принципиально трёхмерная задача, сведётся к решению одномерного уравнения Лапласа, которое в сферической системе координат будет иметь вид:

, с граничными условиями

Общий вид решения этого уравнения, можно найти. проинтегрировав его два раза: , где R_N – расстояние до точки отсчёта. Данное выражение можно представить в следующем виде:

, где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые можно найти из граничных условий. При чём С₁ определяется точечным зарядом q, С₂ – выбором точки отсчёта.

Рис.2.4

Замечания:

1. В случае если расстояние до рассматриваемой точки меньше, чем R_N знак потенциала в ней будет совпадать со знаком заряда.

2. В случае если расстояние до рассматриваемой точки больше, чем R_N знак потенциала в ней будет обратным знаку заряда.

3. Если точку отсчёта отнести на бесконечность, получим формулу для кулоновского потенциала:

4. Поверхности равного потенциала представляют собой сферы, центры которых совпадают с местом расположения точечного заряда.

5. Линии напряжённости электрического поля – радиально расходящиеся от поверхности лучи.

6. Потенциал точечного заряда уменьшается обратно пропорционально расстоянию (~ 1/R).

Дата добавления: 2015-11-16